复习参考题国家获奖教案

空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积

一、知识点：

1、空间几何体的结构特征：

③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

④存在每个面都是直角三角形的四面体；⑤棱台的侧棱延长后交于一点。

变式1、给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形。

多面体

(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形。

(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形。

(1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到。

(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到。

旋转体

(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到。

(4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到。

2、三视图与直观图：

三视图

画法规则：长对正，高平齐，宽相等。

空间几何的直观图：常用斜二测画法来画.。基本步骤是：

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴，y′轴的夹角为45°(或135°)，直观图

z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直。

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半。

3、柱、锥、台和球的表面积和体积：

名称

表面积

体积

几何体

柱体(棱柱和圆柱)

S表面积＝S侧＋2S底

V＝Sh

锥体(棱锥和圆锥)

S表面积＝S侧＋S底

V＝13Sh

台体(棱台和圆台)

S表面积＝S侧＋S上＋S下

V＝13(S上＋S下＋S上S下)h

球

S＝4πR2

V＝4πR33

二、典例讲解：

题型一、空间几何体的结构特征：

例1、给出下列命题：其中正确命题的序号是________。

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等。其中正确命题的个数是(

) A、0

B、1

C、2

D、3 题型二、空间几何体的三视图：

例2、如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(

) A、①②

B、①③

C、①④

D、②④

变式2、若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(

) 题型三、空间几何体的直观图：

例3、用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(

) 变式3、(1)一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于

(

A、24a2

B、22a2

C、22222a2

D、3a

(2)正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________。

(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，

O′C′＝2 cm，则原图形是(

) A、正方形

B、矩形

C、菱形

D、一般的平行四边形

)

题型四、空间几何体的表面积与体积：

例4、如下图，一个空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，其俯视图为正方形，求此空间几何体的表面积与体积。

变式3、(1)有一个正三棱柱，其三视图如图所示：则其体积等于(

)

A、3 cm3

B、1 cm3

C、33

cm32

D、4 cm3

(2)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是(

) A、28＋65

B、30＋65

C、56＋125

D、60＋125

(3)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(

) A、48

B、32＋817

C、48＋817

D、80 (4)把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成三棱锥C－ABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为(

)

A、12

B、22

C、124

D、4

(5)有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为________。

三、课外作业：

1、下列结论中正确的是(

) A、各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B、以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C、棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥

D、圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线

2、将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为(

)

3、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(

) A、500π3

cm3

B、866π3

cm3

C、1 372π2 048π3

cm3

D、3

cm3

4、已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为(

) A、32π3

B、4π

C、2π

D、4π3

5、某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是(

) A、72 cm3

B、90 cm3

C、108 cm3

D、138 cm3

6、一个几何体的三视图如图所示，其中侧视图与俯视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是________。

7、如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________。