习题2.3优秀公开课教案

必修二：习题2.3 空间中的垂直关系复习

福建省泉州市泉港区第一中学 林文财

一、教学目标

1. 通过学习更进一步掌握正确的判定和证明垂直的方法,会把空间问题转化为平面问题,解答过程中叙述的步骤要完整,避免因条件书写不全而失分; 2. 培养学生的几何直观能力和空间想象能力,使他们在直观感知,操作确认的基础上学会归纳、概括结论；

3. 学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化,牢记解决问题的根源在“定理”；

4. 提高逻辑思维能力和空间想象能力。

二、学情分析

1.这是一节习题课,由于是高一新生，空间想象能力、推理论证能力较薄弱，本节要完成对立体几何中垂直的判定及性质的复习并会简单应用; 2. 对立体几何中的垂直转化模式还有待形成。

3.学生在学习过程中将会遇到一些问题:不能很好地使用直观图来表示立体图形、不能准确的做出辅助线、证明过程书写不规范等等。

三、重点难点

重点:直线与平面垂直的判定与性质 难点:如何进行逻辑推理,证明并计算相关题目。

四、教学策略分析

为实现教学目标，结合学生的实际情况，这节课选用了综合型教学策略。在内容上精编典型例题与练习，学生在通过独立思考、合作交流、互评互助学习或完成这些例题练习的过程中，实现灵活应用相关定理分析问题、解决问题目的；在形式上，采用集体教学、师生互动、分组探究、个别指导等多种形式相结合，学生在学习中既能感受轻松愉悦的参与感、又能体验被个别关注的存在感；在方法技术上，将实物模型观察、教学助手软件演示、作业展示、幻灯片播放等引入课堂，学生既可以借助这些技术手段帮助思考，同时还可以体会学科知识的学习与实际生活以及信息技术的联系，从而提高学习兴趣，激发学习欲望和探究精神。

五、教学过程

活动1【导入】（一）复习回顾

1.学生聚焦电子白板进行作业点评

(1)定理记忆不熟练、不准确；

(2) 缺乏严密性; (3) 逻辑关系不正确;

(4)步骤书写不规范; (师生互动:聚焦存在问题; 设计意图:使学生明白自己在解题中存在的问题,进而改掉写作业中的不良的习惯) 2.解读考纲要求，链接高考

（1）以空间直线、平面位置关系的定义及四个公理为出发点认识和理解空间中的垂直关系。

（2）理解直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定定理。

（3）理解并能证明直线和平面垂直、平面和平面垂直的性质定理。

（4）能用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

(师生互动:教师引导,学生认真聆听、及时记录; 设计意图:明确考纲要求,做到与高考接轨心中有数;) 3.直线、平面垂直判定与性质知识梳理

（1）．直线与平面垂直的判定定理及性质定理：

文字语言一条直线与一个平图形语言符号语言两条相交直

判定面内的____________

都垂直，则该直定理线线与此平面垂直性质垂直于同一个平面____

定理的两条直线平行

图形语言a，b⊂α

________a∩b＝O

________

⇒l⊥α

l⊥a

____l⊥b

____

a⊥α

____⇒a∥b

b⊥α

____

（2）．平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线____

，则这两个平面垂直两个平面垂直，则性质一个平面内垂直于____

的直线与另一定理交线个平面垂直符号语言

l⊂β

____⇒α⊥β

l____⊥α



α⊥β

____l⊂β

____α∩β＝a

⇒l⊥α

________l⊥a

____

(师生互动:诵读四个定理,强调定理的重点及图形和符号语言;圈点关键字，一方面可以强化对结论知识的记忆，加深理解，另一方面也为接下来应用定理解决问题做好准备。

设计意图:使学生更明确本节课的主题----三个垂直的关系;通过知识点的复习与梳理,为学生构建完整的知识体系) 活动2【练***面垂直的判定与性质概念提升

(二)概念提升

设计意图：通过简单的概念小题，初步检测学生对空间垂直关系的掌握程度，使学生进一步明确本节课所巩固的内容。

活动3【活动】直线平面垂直的判定与性质

(三)题型归纳

视角一：

线线垂直

【例1】(2014·全国2014卷Ⅰ)如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C. (1)证明：B1C⊥AB；(2)略

[解析]

(1)证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．

因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.

又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，

由于

BC1∩AO＝O，故B1C⊥平面ABO.

由于

AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB.

【选题目的】借助“平躺”的三棱柱，培养学生寻找隐含条件的意识，以线线垂直为证明目标，突出线线垂直和线面垂直的相互转化思想。

【处理过程】

引导学生从“侧面BB1C1C为菱形”这一条件出发，得出B1C⊥BC1.分析AO⊥平面BB1C1C，又得B1C⊥AO，再引导学生分析B1C、BC1、 AO三条直线中的垂直关系，

让学生思考出可证B1C⊥平面ABO便可容易得出B1C⊥AB. 给出规范的步骤后,老师指出“B1C⊥平面ABO.由于AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB”中不可省略“AB⊂平面ABO”.让学生进行小结

证明方法，同时梳理常见的隐含条件，如等腰三角形底边的高，中线和顶角的角平分线，直径所对的圆周角，直角三角形，直角梯形,矩形、菱形等。

视角二：

线面垂直

【例2】

(2015·重庆)如图，三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，π∠ABC＝，点D，E在线段AC上，且AD＝DE＝EC＝2，PD＝PC＝4，点F2在线段AB上，且EF∥BC.(1)证明：AB⊥平面PFE；(2)略

如图．因为DE＝EC，PD＝PC 所以PE⊥AC，

(1)

又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，

PE⊂平面PAC，PE⊥AC，所以PE⊥平面ABC，

从而PE⊥AB. 因为∠ABC＝900

，EF∥BC.故AB⊥EF，

由于

PE∩EF=E，所以AB⊥平面PFE.

【选题目的】解决线面垂直问题时，同样要注意线线垂直和线面垂直的转化，在证明过程中，需充分利用几何体特征简化问题，有时由长度特征可得线线垂直关系，面面垂直的性质定理是寻找线面垂直的一个重要

的突破口

【处理过程】引导学生实施两次转化，先由平面PAC⊥平面ABC（面面垂直）得到PE⊥平面ABC（线面垂直），再由PE⊥平面ABC（线面垂直）得到PE⊥AB（线线垂直），从而为AB⊥平面PFE（线面垂直）创造条件之一，让学生讨论尝试寻找题目中隐含的垂直关系，得到第二个（EF⊥AB）线线垂直条件。利用教学助手软件即拍即传学生的答题情况，对学生的做答由面面垂直转化为线面垂直的做法及时给予肯定与展示。再让学生小结证明方法。

面面垂直【例3】如图，在三棱锥P-ABC中，D,E,F分别是PC,AC,AB的中点.已知

PA⊥AC，

PA＝6，

BC＝8，DF＝5.

求证：

平面BDE⊥平面ABC

证明需证线线垂直需证线面垂直∴DE⊥平面ABC.

欲证面面垂直而DE⊂平面BDE，

∴平面BDE⊥平面ABC

【选题目的】：培养学生观察与分析几何体中线线关系的能力，空间垂直问题的计算常以垂直关系为先决条件，进一步突出垂直关系转化思路：

【处理过程】 老师提示两种证明方法

：利用定义法和定理法，学生

分组讨论这两种操作哪一种容易, 引导学生转向思考现有的直线中能否可寻找出平面AEC或平面BED的垂线。先后请同学板书证明过程，老师指出可能出现的错误，规范解题步骤，总结解题方法。通过小组内再次交流，学生自己梳理处理方法，加强自己所学方法的系统化、条理化，使认知结构更趋合理。

活动4【讲授】方法提炼与失分警示

解决三大类垂直问题的思想：转化思想方法提炼

1.证明平面与平面垂直,主要方法是判定定理,通过证明线面垂直来实现,从而把问题再转化成证明线线垂直加以解决.

2.线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化是解决有关垂直证明题的指导思想,其中线线垂直是最基本的,在转化过程中起穿针引线的作用,线面垂直是纽带,可以把线线垂直与面面垂直联系起来.

[失分警示] 1．关注线面垂直判定定理的条件：证明线面垂直时，易忽视“平面内两条相交直线”这一条件．

2．关注面面垂直的性质定理的条件：当题目涉及面面垂直的条件时，一般用此定理转化为线面垂直，应用时注意在面面垂直的前提下，过平面内一点，垂直于两平面交线的直线应在其中一个平面内．

活动5【测试】课堂反馈

练习1. 已知α、β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线, 则“α⊥β

”是“m⊥β

”的(B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

练习3.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°, PD⊥BC，

PC=AB=2CD=2，PA＝23，求证：PC⊥平面ABCD

P D B C A

练习4（备用）.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别是AP,AD的中点. 求证:平面BEF⊥平面PAD.

(师生互动：学生观察、思考、交流，完成练习，师生共同完成练习2的学习，师生共同应用模型辅助，找反例。寻找证明依据。教师投影学生练习3的解答过程，师生共同对过程进行点评。

设计意图:(

学生通过合作交流、与人分享的探讨的氛围中倾听、思考、表述，学会合作，并在合作中懂得欣赏他人. 应用所学知识和思想方法独立完成练习，体验成功喜悦；提高分析问题和解决问题能力.问题的设

置在题型和题量都参照对比例题，并适当降低难度，学生在完成过程中一直带有数学感，易于激发思考兴趣，有利于学生将精力重点放在定理的应用和证明的表述上.学生通过练习2的学习可以提高空间想象能力，熟悉和强化判定定理和性质定理应用；练习3的设置作为前面例题的一个进一步巩固与提高，加深直线与平面垂直的认识，进一步体会本节课涉及的数学思想方法和解题方法。学生在解决练习3时，规范了答题过程。老师在讲评时针对学生的答题对比后做出恰如其分的点评。)

活动6【讲授】小结

(六)课堂小结

(一)证明空间中的垂直关系

1.证明线线垂直的方法: ①利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形、圆等得到线线垂直．

②利用勾股定理逆定理．

③利用线面垂直的性质定理

2.证明线面垂直的方法: (1)线面垂直的判定定理

(2)面面垂直的性质定理

3.证明面面垂直的方法: (1)定义 (2) 面面垂直的判定定理

(二)空间垂直关系的证明体现了空间图形平面化的转化思想,推理过程实际上就是一种转化的过程,即:线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直。

（三）从高考角度进一步归纳总结：

(1)考试题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.

(2)三种垂直关系的转化又以线面垂直为重点环节，其可以实现线线垂直、面面垂直甚至是平行关系的转化.

(师生互动:引导学生对所学的知识进行小结,有利于学生对已有的知识结构进行归纳; 设计意图:(1)在方法层面上,引导学生回顾定理的条件与结论,进一步加深学生对定理的理解,突出教学重点,方便学生记忆;(2)引导学生对学习过程进行反思,为在今后的学习中,进行有效调控打下良好的基础) 六、作业布置:见学案的课后测评。

七、教学结果预测

通过本节课的学习，结合教学目标预测可能会出现的结果：

1、学生对于空间垂直知识框架的构建、对直线与平面垂直判定定理和性质定理的内容能够基本上掌握；但在应用定理对问题进行分析、转化、解决上，在表述的调理性、规范完整性上，估计有部分学生还会有一定的困难，需要在以后的教学中进一步培养、提升和强化。

2、由于学生的层次不同，体验与认识有所不同。对层次较高的学生，还应引导其形成更科学、严谨、谦虚及锲而不舍的求学态度；基础较差的学生，由于不善表达，参与性较差，还应多关注，鼓励，培养他们的学习兴趣，多找些机会让其体验成功。