3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学评价实录

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课题：

§3.1直线的倾斜角与斜率

【学习目标】

①

正确理解直线的倾斜角和斜率的概念. ②

能初步完成倾斜角与斜率的转化，理解二者间的联系；

③

两点间斜率公式的推导过程及运用；

④

引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法

⑤

通过斜率存在性讨论，培养学生形成严谨思维习惯。

【学习重点】

直线倾斜角与斜率的转化；两点间斜率公式；直线斜率存在性的讨论

【学习难点】

【学习过程】

【课 前 学 习】

一．

平面几何图形的研究方法

1.

在初中我们学***面图形性质与计算的一门数学理论——平面几何，其依据几个公理为基础，进行严谨的推理逐步形成了理论体系，其对推理能力与辅助线构作能力要求很高，很多问题的解决往往依赖大量的技巧与灵感。

2.

在上学期，我们学***面图形的另一门数学理论——平面向量，在一些问题的解决中我们已初步看到了其简捷性，也初步体会到位置关系的研究也可以转化成代数计算，如

非零向量间的垂直关系：

abab0。

3.

由于向量又可以运用坐标计算，这为我们更加熟悉，那么我们考虑能否建立运用坐标法来研究平面几何问题的理论体系呢？这就是解析几何。（阅读教材第三章前言）

二．

复习旧知：一次函数

1.

一次函数的图象特点：一次函数解析式：_____

_，它的图象是_________. 2.

对于一给定函数如：y2x1，其图象的作图方法为：__________________ 3.

一次函数图像与解析式的关系：一般地，一次函数ykxb的图象是一条直线，它是以满足ykxb的每一对x,y的值为坐标的点构成的. 4.

由于函数式ykxb也可以看作二元一次方程.所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系. 三．

自主探究1：

1.

我们知道，经过两点有且只有（确定）一条直线。那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图，过一点P可作无数多条直线a，b，c，…易见，答案是否定的，这些直线有什么联系呢？

2.

提出问题：怎样描述这种倾斜程度的不同？

（1）阅读教材P82，理解“倾斜角”的定义：当直线l与x轴

时，取x轴作为基准，

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x轴

与直线l

之间所成的角叫做直线l的倾斜角。特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定

。

（2）倾斜角的取值范围是什么？

（3）当直线l与x轴垂直时，倾斜角为

【练习】判断下列图中所标直线的倾斜角是否正确？（α为直线倾斜角）

3.

概念的深化：

（1）

因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我

们就可以用倾斜角来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度。

（2）

反之，一个倾斜角能确定一条直线吗？

（3）

确定一条直线的要素：

① 确定一条直线。

②

确定一条直线。

四．

自主探究2：给定两点P1 (x1，y1)，P2

(x2，y2)，x1≠x2，如何用两点的坐标

来表示直线 P1P2的倾斜角？

1.

思考：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？

2.

阅读教材P83,填空：坡度（比）= 图示：

3.

由直角三角形知识知: 坡度（比）实际上是倾斜角的正切值，即“坡比=tan”

4.

一般地，我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的

。斜率常用

表示。那么

【即时训练】已知直线倾斜角如下，求出其对应的斜率

倾斜角

【注意】任意直线都有倾斜角，但不一定有斜率。

0



6



4



3



2

2

3

3

4

5

6

斜率



5.

概念的深化：

，ktan（1）

时，k0；

（2）

时，k0；

（3）

时，k0

* 特别地，90时，k

。

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【概念辨析】为使大家巩固倾斜角和斜率的概念，我们来看下面的题. 关于直线的倾斜角和斜率，判断下列说法是否正确？

A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；

B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；

C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；

D.两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等. E.直线斜率的范围是(－∞，＋∞). 【课堂学习过程】

一、

学习准备成果交流：

二、

新知探讨：

(一)

直线的倾斜角：

1.

定义：当直线l与x轴

时，取x轴作为基准，x轴

与直线l

之确定一条直线间所成的角叫做直线l的倾斜角。特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规的要素：

定

。

2.

直线倾斜角的范围：

(二)

直线的斜率：

1.

定义：把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的

。斜率常用

表示。那么

2.

直线斜率的存在性问题：

(三)

直线斜率与倾斜角的互化：

(四)

两点间的斜率公式：

1.

问题提出：给定两点P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)，x1≠x2，

如何用两点的坐标来表示直线P1、P2的斜率？

2.

两点间的斜率公式：

3.

概念深化：思考下列问题

（1）k与P1、P2的顺序有关吗？

（2）公式中为什么要求x1≠x2？

请从代数与几何两个角度分别解释。

三、

题型思维构建：

【题型一】两点间斜率坐标公式的运用：

例1．

已知A (3，2)，B (–4，1)，C (0，–1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的

倾斜角是钝角还是锐角.

【练习】求下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.

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（1）(1，1)，(2，4)； （2）(–3，5)，(0，2)； （3）(2，3)，(2，5)； （4）(3，–2)，(6，–2)

例2．

若三点A(2,3)，B(3,2)，C(,m)共线，求m的值

【题型二】直线倾斜角与斜率的互化

例3．

（1）若直线的斜率为123，则其倾斜角为 3 （2）若直线的倾斜角范围是62，则斜率的范围是 3 （3）若直线斜率的范围是[1,3]，则倾斜角范围是

例4．

已知两点M(2，－3)、N(－3，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则直线l的

斜率k的取值范围是(

)

王新敞A.k≥

3333或k≤－4

B.－4≤k≤

C. ≤k≤4

D.－≤k≤4 4444

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【课 后 学

习】

一、回顾复习笔记，理解记忆知识要点；

1.

确定一条直线的要素：

2.

填写下表：

定 义

直线的倾斜角

直线的斜率k

直线的斜率公式

取值范围

【注】当

时，直线的斜率不存在。

二、

基础题：

【题型一】两点间斜率坐标公式的运用：

1.

过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(

) A.1

B.4

C.1或3

D.1或4 2.

斜率为2的直线经过(3，5)、(a,7)、(－1,b)三点，则a、b的值是(

) A.a=4,b=0

B.a=－4,b=－3

C.a=4,b=－3

D.a=－4,b=3

3.

已知A(2，3)、B(－1，4)，则直线AB的斜率是

.

4.

已知P当x1x2时，直线P当x1x2且1(x1,y1),P2(x2,y2)，1P2的斜率k = ；y1y2时，直线P1P2的斜率为 ,倾斜角为 .

【题型二】直线倾斜角与斜率的互化

5.

直线l经过原点和点(－1,－1),则它的倾斜角是(

) A.55

B.

C.或 D.－

444446.

已知M(a,b)、N(a,c)(b≠c),则直线MN的倾斜角是

.

7.

已知点P(3,1)点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，求Q点的坐标。

三、能力提高

8.

已知直线l1的倾斜角为1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角2为________. 9.

已知两点A(－3,4)、B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围.

教学（学习）反思