复习参考题课件配套优秀

几何体的外接球问题教学设计

教学目标

1.知识与技能：掌握求外接球半径的2种方法：载体法，几何法，从而解决一类与外接球有关的组合体问题.培养空间想象能力.

2.过程与方法：先寻找到部分顶点距离相等的点，再找到所有顶点距离相等的点（即球心），体会从部分到整体的转化思想方法.

3.情感态度与价值观：理解从部分到整体的转化关系，从而激发学生学习立体几何的兴趣和积极性. 重点难点

重点：找球心，求半径的方法，部分到整体的思想；

难点：载体法，几何法原理的理解；

教学方法

问题变式教学，启发探究式教学

教学过程

一、真题再现

1.（2018·新课标Ⅲ，理10，文12）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值为

A．123

B．183

C．243

D．543

2.（2017·新课标Ⅲ，8）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

A．π

B．3π

4π

2π

4

C．

D．3.（2012·新课标Ⅰ，11）已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为

A．2

6

B．3

6

C．22

D．

32

近3年全国卷几何体的内切球与外接球问题试题统计表

全国卷学

I 年份

2018 2017 2016 IIm]

2018 2017 2016 III 2018 2017 2016

考情分析（师生）：近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题为高频考点，主要考查球与几何体的切接问题，在高考中主要的题型主要是选择题或者填空题，基本上都是中等难度的试题。要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，教学中要注重对学生直观想象，数学运算和数学建模等核心的培养。

教学意图：通过展示高考中的典型考题让学生体会掌握该专题的必要性，同时初步感受高考中此类考题的考试切入点，考试难度；通过统计近三年该专题的相关考题让学生做到心中有数，有的放矢。

二、回头再看

1.

外接球的概念

示例：三棱锥的外接球（几何画板演示），显然三棱锥的四个顶点都在球面上，这时，我们就说这个球是三棱锥的外接球，这个三棱锥是球的内接三棱锥.根据这一位置关系，我们不难得到外接球问题的性质：外接球球心到各个顶点的距离均相等。

2.

球的截面性质

题号

16

15 4 12 8 11 考点分布

三棱锥与外接球

长方体与外接球

正方体与外接球

三棱锥与外接球

圆柱与外接球

直三棱柱与内切球

球心在过截面圆心的垂线上

教学意图：通过几何画板直观演示，简单了解外接球的概念，理解球的截面性质。

三、难点突破

1-1.在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若AB＝2，BC＝3，PA＝4，则该三棱锥的外接球的表面积为(

) A．13π

B．20π

C．25π

D．29π

答案：D 解析：把三棱锥P－ABC放到长方体中，如图所示，

所以长方体的体对角线长为22＋32＋42＝29，

29所以三棱锥外接球的半径为2，

29所以外接球的表面积为4π×2＝29π.

21-2.如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线或虚线表示一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为

．

答案：43

解析：构造如图所示的正方体，正四面体在正方体中的位置如图所示，

此三棱锥的外接球与正方体的外接球是同一个球，

正方体边长为2，体对角线长为23，

4所以外接球半径R3，体积VR343

3

1-3.在四面体ABCD中，若AB＝CD＝3，AC＝BD＝2，AD＝BC＝5，则四面体ABCD的外接球的表面积为(

) A.2π

B.4π

C.6π

D.8π

答案：C 解析：如图所示，该四面体的四个顶点为长方体的四个顶点，设长、宽、高分别22为a，b，c，则a＋c＝4，b2＋c2＝3，＝4πR2＝6π.

a2＋b2＝5，

三式相加得a2＋b2＋c2＝6，因为该四面体的外接球直径为长方体的体对角线长，所以4R2＝a2＋b2＋c2＝6，所以外接球表面积S

引导学生通过上述题组作出解题归纳：

【载体法】

（1）若所求几何体可以置于长方体中并且其顶点都是长方体的顶点，则该几何体与对应长方体外接球相同；

（2）长方体的外接球半径为体对角线长的一半；

（3）正四面体补成正方体，对棱相等的四面体补成长方体，三条棱两两垂直的三棱锥补成长方体，一条棱垂直于一个面的三棱锥补成长方体。

教学意图：通过三个变式题的多题一解，让学生在对比中反思，在反思中归纳载体法的主要应用情境，体会载体法的解题原理。解题反思是解题教学的核心，通过变式引导和促成解题反思，是解题教学的有效手段。

2-1.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（

）

117A.a2

B.a2

C.a2

D.5a2

33

A O1

B A1

O O2

B1

C1

C 解：如图，

设正三角形ABC和A1B1C1的中心（即外心）分别为O1和O2，连结O1O2，OA，O1A，取O1O2的中点O，则O到三棱柱ABCA1B1C1各顶点的距离都相等，∴球心就是O，在RtAOO1中，外接球半径ROAOO12AO12∴S球4R247272aa，∴选B. 12321a，

62-2.直三棱柱ABCA12，AB1，1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AAAC3，BC2，则此球的表面积等于_______.

答案：8

2-3.直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若ABACAA12，

BAC120，则此球的表面积等于_______.

A1

B1

C1

O2

O A B C O1

解：如图，设三角形ABC和A1B1C1的外心分别为连结O1O2，OA，O1A，O1和O2，取O1O2的中点O，则O到直三棱柱ABCA1B1C1各顶点的距离都相等，∴球心即为O，由余弦定理，BC2AB2AC22ABACcosBAC12，∴BC23，设ABC外接圆的半径为r，则由正弦定理，2rBC4，∴r2，在sinBACRtAOO1中，外接球的半径RAOAO12OO125，∴S球4R24(5)220.

跟踪训练2-1．已知如图所示的三棱锥D－ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB＝3，AC＝3，BC＝CD＝BD＝23，则球O的表面积为(

) A．4π

B．12π

C．16π

D．36π

答案：C 解析：如图所示，∵AB2＋AC2＝BC2，∴∠CAB为直角，即△ABC外接圆的圆心为BC的中点O′.△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，则球心在过△DBC的圆面上，即△DBC的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合，易得球半径R＝2，球的表面积为S＝4πR2＝16π，故选C.

跟踪训练2-2.（2012·新课标Ⅰ，11）已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（

）

A．2

6

B．3

6

C．2

3D．2

2解析：如图所示，根据球的性质，知OO1平面ABC，则OO1O1C．

OC1，在RtOO1C中，O1C336，所以OO1OC2O1C21()2．

3331362因此三棱锥S－ABC的体积V2VOABC2，故选择A．

3436

SOBO1AC引导学生通过上述题组作出解题归纳：

【几何法】

（1）先找“底面”外心，再作垂线，球心就在该垂线上，利用几何关系求半径；

（2）正三角形的外心是中线的三等分点，直角三角形的外心是斜边中点，一般三角形的外接圆半径可用正弦定理求得。

四、本讲总结

1.求解外接球问题的关键：找球心，求半径！

2.找外接球球心的方法：

（1）载体法（2）几何法

3.本讲主要思想方法

（1）先寻找到部分顶点距离相等的点，再找到所有顶点距离相等的点（球心），

这里用到了从部分到整体的“转化”思想方法；

（2）“补形”的思想方法. 五、本讲作业

利用本讲总结的方法完成真题再现环节的三个高考真题