习题2.3优秀课堂实录

2.3.1直线与平面垂直的判定

云南省昆明市第十四中学

王一尧

【教材分析】

本节是人教A版数学必修2第二章第三节第一课时，是立体几何的核心内容之.从地位与作用看，直线和平面垂直是直线和平面相交的一种重要情况，它是在学生学习了直线与直线垂直，直线与平面平行的基础上学习的，是对学生“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认识过程的一个再强化.同时也是研究面面垂直、空间距离、线面角、二面角的重要基础.从教学内容看，本节判定定理重点在于让学生探究得到线线垂直与线面垂直之间的相互转化，并且通过例题归纳出证明线线垂直的一般方法.从核心素养看，本节内容蕴含从“空间问题转化为平面问题”、“无限转化为有限”、“线线垂直与线面垂直之间的的转化”等数学思想.着重于提升学生直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象的素养.

【学情分析】

学生已经学***面平行的判定和性质，学习了两直线（共面或异面）垂直的位置关系，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能力.但是学生对于线面垂直已有的认知基础是日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象，还没有形成成熟的空间观念.

【教学目标】

1.通过图片观察与折纸实验，理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理，应用定理证明空间基本图形位置关系的简单命题. 2．通过对图形的观察和操作，发现和提出线面垂直的判定，逐步学会用准确的数学语言表达定理，直观解释定理的含义. 3.通过计算机软件呈现空间几何体，认识空间几何体的结构特征，培养学生几何直观的核心素养在.在直观感知、操作确认的基础上学会归纳，概括结论，培养学生的抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。

【教学重点、难点】

教学重点：直线与平面垂直的定义及判定定理的探究和应用

教学难点：从简单应用中归纳出证明线面垂直的一般方法，体会转化的数学思想. 【教学方法】

本节课主要采用师生、生生合作交流和以学生为主体的探究学习展开教学.核心素养方面尤其侧重于数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的培养，主要引导学生通过自主学习与合作探究，实现在熟悉的生活情境中抽象出直线与平面垂直的定义以及判定方法.通过合作交流，明确线面垂直的判定实质内涵，从而达到灵活应用定理解决相关教学问题.

【教学过程】

一、复习引入

直线与平面的位置关系（在平面内、平行、相交），前面已经学***行关系，这节课我们学习相交这种位置关系下特殊的情况——垂直. 【设计意图】复习已学过的知识，巩固直线与平面的位置关系，为引入直线与平面垂直做铺垫，并由此过渡到本节课的课题.

二、探究直线与平面垂直的概念

1.创设情境、感知概念

教师通过多媒体图片展示直线与平面垂直的实例（旗杆与底面，桥柱与水面）

进一步提出问题：那么怎么给直线与平面垂直下定义呢？

2.

动手操作、观察归纳、形成概念

随着太阳的东升西落，通过多媒体展示可以看到，旗杆与旗杆在地面的影子保持互相垂直，且与地面上任意一条直线都垂直. 说明：平面上的直线与旗杆所在位置关系有相交和异面，影子验证了旗杆所在直线与平面内相交直线的垂直关系，而异面直线可以通过平移转化为与旗杆所在直线相交的直线. 问题1:通过上述观察分析，你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直？

直线与平面垂直的定义：

自然语言：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直. 图形语言：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图.

平面的

直线的垂

垂足

符号语言：

【设计意图】从实例到图片，再到实际生活，直观感知直线和平面的位置关系，强调直观想象能力以及数学抽象能力从而建立初步印象，为下一步的数学抽象做准备. 3. 辨析讨论、深化概念

判断下列命题是否正确: (1)如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所有的直线都垂直. （

）

(2)如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它与平面垂直. （

) 说明：线面垂直 线线垂直

【设计意图】通过问题辨析与讨论，加深概念的理解，掌握概念的本质属性.由（1）使学生明确，直线与平面垂直的定义既是判定又是性质，“直线与直线垂直”和“直线与平面垂直”可以相互转化.由（2）使学生明确定义中的“任意一条直线”是“所有直线”的意思，而不是“无数条直线”.思考过程中提升学生直观想象和逻辑推力的核心素养.

三、探究发现直线与平面垂直的判定定理

如果利用定义去判断直线与平面是否垂直，对于操作上体现“任意一条”直线具有一定的困难，那类比“线面平行”，“线面垂直”是否有判定定理呢？

1.试验探索

如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片（如果是直角或钝角三角形，则在直角或钝角标上点A)，我们一起来做一个试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）. 问题2：（1）折痕AD与桌面垂直吗？

A

（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？

A

D

B

C

α

B

C

D

师生活动：在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，让学生上讲台演示两种情况，引导学生进行交流，经过讨论交流，发现当且仅当折痕AD是BC边上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD与桌面垂直. 【设计意图】通过观察思考，感知直线与平面垂直的本质内涵.问题（1）的答案是“不一定”；也正是因为“不一定”所以要回答第（2）问的“如何翻折”，这也正是判断直线与平面垂直的条件. 2.深入探究，定理归纳

问题3：（1）有人说，折痕AD所在直线与桌面所在平面上的一条直线垂直，就可以判断AD垂直平面.你同意他的说法吗？（举例说明）

（2）由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD，由此你能得到什么结论？归纳

说明：师生共同分析折痕AD是BC边上的高时的实质：AD是BC边上的高时，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD.这就是说，当AD垂直于桌面内的两条两条相交直线CD、BD时，它就垂直于桌面. 问题4：把AD、BD、CD抽象为直线

、、

，把桌面抽象为平面，直线与平面垂直的条件是什么？

判定定理：

自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直. l图形语言：

np

m

α

用符号语言表示为：

线线垂直  线面垂直 【设计意图】让学生归纳出直线与平面垂直的判定定理，并能用符号语言准确表示，使学生明白要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点是无关紧要的.

四、例题示范、巩固新知

例1 已知是正方形证明： ，. ，所在平面外的一点，且,

，

ADO，求证：平面P. . CB【设计意图】这是运用判定定理证明线面垂直的简单例题，背景来自《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.这个立体图形来自于长方体、正方体的切割，也为后面的变式提供了题目基础.一方面理解线面垂直的判定定理本质上就是要找线线垂直；另一方面归纳出立体几何中常见的两种证明线线的方法：根据四边形性质得到对角线互相垂直；根据线面垂直得到线线垂直.

变式1 已知是正方形，点是证明： 所在平面外的一点，且平面；

D，P的中点.求证：，点为. 的中点，

ECOAB平面，平面，，

，

，，且，

，

，并构造中点形成新的线面垂直，体会题目【设计意图】在例1的基础上增加条件的来源与变化.通过这道题也总结出另外一种证明线线垂直的方法：等腰三角形中三线合一，并强化了线线垂直与线面垂直之间的相互转化.

变式2 是圆的直径，是圆上的一点,是平面外的一点,，点是，点为. 平面，，

，

，

，

的中点，求证：平面.

DO所P在的平面，证明： 又 平面E的中点，

CB是圆的直径，，，，且

【设计意图】将变式1中利用正方形性质得到的垂直关系通过圆的性质隐藏起来，体会编题巧思.同时也包含另一种证明线线垂直的方法：直径所对的圆周角是直角.

说明：在变式2结束后，返回例1的图形，并恢复成正方体，将已证明的线和面扩大，体会立体几何题目中常用的出题方法——割补，这也是解决立体几何问题的重要方法.

变式3 正方体的交点，证明：证明：连接，

，. A中，点为平面

，点为与A1PC1B1FDOCB由例1证明知平面

设正方体边长为,则根据边角关系及正方体性质可得： ,,, 根据勾股定理可得：，且平面

平面

, 【设计意图】利用例1恢复的正方体取点变化，增加题目难度的同时包含了证明线线垂直的一种方法：勾股定理，强调数学运算能力.至此，一道例题与三个变式，既看到试题之间的联系和变化，也看到正方体到不同椎体之间的切割方法，还从中总结出证明线线垂直的几种方法. 六、课堂小结

1、本节课你学会了哪些判定直线与平面垂直的方法？ （1）定义法：强调是“任何一条直线”

（2）判定定理法：必须是“两条相交直线”。

2、直线与平面垂直的判定定理中体现了什么数学思想方法

？转化的思想

两条相交

线线垂直 线面垂直

任意一条

3.判断线线垂直的几种常用方法.

【板书设计】

2.3.1直线与平面垂直的判定

例1 1.线面垂直的定义：

证明：.

2.线面垂直的判定定理：

线线垂直线面垂直

，

，

，

变式1 , 证明：. 平面，

，

，，

，点为的中点，

线线垂直线面垂直