1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教学实录与评析

借助3Done研究正方体及其相关多面体外接球的问题

广州市南海中学

廖小琴

一、学情和高考形势分析

本课之前，学生已经学习完必修2第一章的内容。已初步掌握了简单几何体的结构，三视图和直观图以及简单几何体的表面积、体积的运算。

与球组合的几何体问题，一种是内切、一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查重点，但同学们因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。故此，本课尝试引入3Done软件辅助教学，即可增强同学们的3D想象力，同时把“生活数学化，数学生活化”的思想带给同学们。让学生感受到数学来源于生活，同时又服务于生活。

二、设计思路

简单几何体的外接球问题在立体几何中是难点和重要的考点。此类问题实际上就是解决球的半径长度和确定球心位置的问题。解决这类问题时，要认真分析图形，明确接点和切点的位置及球心位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。

本课设计是这类问题的第一课时。想以正方体为原型，通过伸缩拉压、减少顶点等变形

进行变式教学，引出一系列能通过补体法解决的多面体外接球问题。通过本课渗透空间问题平面化、转化化归、猜想与验证和补体法等数学思想方法，提升学生的空间想象力、几何语言表达能力等。

在以往，我们这节课求完球的半径就只能结束了。没有办法给学生验证我们求出来的半径是否满足题意。全凭学生自己的想象和理解。所以，引入3Done软件就是为了给学生一个直观的验证方法，也由此渗透数学猜想与验证的思想。

这节课虽然思维抽象，容量大，但也不想以减少题目的形式迁就课堂时间。因为感觉这是一个系统的变化。如果减少题目就不能体现正方体系下的多面体外接球问题。

三、教学目标

知识与技能：

1、会画出正方体内切球、外接球和棱切球，以及多面体外接球等直观图和截面图辅助解题。

2、能求出正方体内切球、外接球和棱切球，以及多面体外接球等球的表面积和体积。

过程与方法：

通过本课渗透空间问题平面化、转化化归、猜想与验证和补体法等数学思想方法，提升学生的空间想象力、几何语言表达能力等。

情感态度与价值观：

本课尝试引入3Done软件辅助教学，即可增强同学们的3D想象力，同时把“生活数学化，数学生活化”的思想带给同学们。让学生感受到数学来源于生活，同时又服务于生活。

四、教学重点与难点

重点：能求出正方体内切球、外接球和棱切球，以及多面体外接球等球的表面积和体积。

难点：1、理解出正方体外接球直径就是体的对角线，棱切球直径是面对角线的一半。

2、通过补体思想解决与正方体相关的多面体外接球问题

五、教学手段和工具

1．教法选择：以正方体外接球为主线，进行“创设情境，小组探究，例练讲解，整理归纳”教学；

2．学法指导：学生在老师的引导下，边观察、边思考，转化、化归，体验多面体和球的变化过程；小组探究、研讨，达到知识的延展。

3．教学用具：投影仪、多媒体课件（以PowerPoint为平台，结合使用3Done软件）。

六、教学困惑

随着大数据时代的来临，互联网+的广泛渗透，我们的教学也要与时俱进！在课堂中使用高科技软件让学生感受数学在现代科技的应用是我们教师所要突破的新转变。但由于教师们在科技软件方面的培训和更新得也较慢，往往会出现有心而无力的现象。像本课的教学，由于受本人对3Done软件使用技能还不够熟悉的限制下还没能使软件协助教学的效果达到最好。同时，介入这个软件进行辅助教学到底对学生在学习理解是否有帮助？帮助又是多少呢？这是我之前都没尝试过的。故此，想通过此课想得到更多的在教学上的尝试和进步。

七、教学过程与实施

环节

教学内容设置

师生双边互动

设计意图

还原数学应用，引发学生学习兴趣，提出生活也有数学化。

一、时下流行的3D 师：引出3D在生活中的如今什么都是3D的了，电视是3D的，手机是广泛应用，同时引出本3D的，游戏机也是3D的，动画也是3D的，各课内容在3D中的应用。

种大片的特效中也都有3D的身影，还有3D打印技术等。

虽然，我们目前的3D技术还不算很先进，但不得不说的是3D的制作的确是一个艰辛的过程，那么你知道3D制作的幕后是怎样的吗？

以3D打印制作为例，3D打印的制作流程主要分为：建立模型、材质、颜色、渲染四个步骤。其中模型的建立是非常耗时间的！各种相连接和相嵌套的零件如果出现计算上的不准确，就会导致打印处理的零件不贴合，浪费材料等发生。故此，在模型建立的初步我们就要计算精确！今天，我们就以研究正方体的内切、外接和棱切球为例，利用3Done软件尝试建立模型。3Done是一款以三维建模、3D打印为核心的创客软件。我们今天就用3Done来检验我们的几何想象和计算是否成立。

场景1：以一个棱长为40的正方体体心为球心制作一个球，使得球与正方体的六个面相切。并求出球的体积。

场景2：以一个棱长为40的正方体体心为球心制作一个球，使得球与正方体的八个顶点相接。并求出球的体积。

归纳：边长为a的正方体内切球直径2R=a 师：创设3种球体，要求学生想象并求出球体半径，用3D软件还原。

生：小组探究球体与正方体的位置关系，动笔作图还原其直观图，并求出球的半径。

师：在还原3D图的同时，

边长为a的正方体外接球半径为直径2R=3a

要引导学生作出几何体的截面图辅助理解。

生：探究过程中形成几何语言描述结果。

情境引入

探究一利用软件复原场景培养学生空间想象能力、几何语言表达能力和空间问题平面化、转化化归思想的渗透。

3Done立体再现使学生的猜想得以验证。

3DONE

变式1：求一个长、宽、A 高分别为4，2，4的B 长方体外接球的体积。

A1

B1

变式2：在四棱锥A AA1B1C1D1中，AA1、D C D1

C1

师：通过一系列变式，引发学生感受通过补体能达成的多面体的外接球半径的求法。

生：观察、感受、思考、讨论达成补体思想方法的运用。

数形结合、转化化归思想的渗透，在脑海中生成正方体的伸缩拉压、减少顶点等一系列的形体变化。

A1B1、A1D1两两互相垂A1

D1

探究二：探究与正方体相关的多面体外接球直，AA1=A1D1=4,A1B1=2,B1

C1

求其外接球的表面积。

变式3：在三棱锥、A1B1、A1D1两两互相垂直，AA1B1D1中，AA1且AA1A1D14,A1B12则其面积。

变式4：在三棱锥AA1B1C1中，AA1外接球的表A A1

B1

B D1

D A1B1，AA1A1C1 , A1B1B1C1，AA1B1C14, A1B1=2则其外接球的表面积。

变式5：在正四面体DA1BC1A1

C1

A 中,棱长

为2，则其外接球的表面积。

A1

变式6(提升）：在三棱B1

锥DA1BC1中，其中B A1

C1

D c1

BA1=C1D=3,BC1=A1D=5,BD=A1C1=6,则其外接球的表面积。

发现总结以上的几道变式题，你发现了什么？

遇到什么情况下可以运用你的发现？

如今生活中3D已经无处不在，同样的，我们的数学也与生活息息相关。学完本课后，希望同学能对3D中的数学有所体会了！所以，希望同学们学好数学，并能把数学很好地用于以后自己的生活和工作中。谢谢！

1、正方体的内切球与其外接球的体积之比为（ ）A．1∶3 Ｂ．1∶3 C．1∶33 D．1∶9 2、一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示（图中三个四边形都是边长为2的正方形），则该几何体外接球的体积为

．

3.已知正方体外接球的体积为体的棱长等于.答案 43

332,那么正方3师：引导学生归纳总结本课重难点。

生：总体归纳出本课重难点，及补体法解决多面体外接球的问题。

回归本课中心思想，为学生提升到数学生活化的高度。

生：通过题目的变化继续巩固所学的知识。

4.（2008·福建，15）若三棱锥的三个侧面两巩固练习两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是.答案 9

5、.如图所示，E、F分别是边长为1的正方形ABCD边BC、CD的中点，沿线AF，AE，EF折起来，则所围成的三棱锥的外接球体积为. 6、若一个底面边长为6，侧棱长为6的正六2

棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为.答案 43

7、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是.答案 24

8、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是.答案 3

49、如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分

别沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形

成的三棱锥的外接球的体积. 解 由已知条件知，平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1. ∴折叠后得到一个正四面体.

方法一 作AF⊥平面DEC，垂足为F，F即为△DEC的中心. 取EC的中点G，连接DG、AG，

过球心O作OH⊥平面AEC. 则垂足H为△AEC的中心.

4分

∴外接球半径可利用△OHA∽△GFA求得. ∵AG==

33，AF=1()2326，

3

在△AFG和△AHO中，根据三角形相似可知，

AH=AGAH3.∴OA==AF33323=6. 463433∴外接球体积为×OA=··436643=6. 8

方法二 如图所示，把正四面体放在正方体中.显然，正四面体

的外接球就是正方体的外接球.

6分

∵正四面体的棱长为1，

∴正方体的棱长为3·2，∴外接球直径2R=22，

2

10分

3646=6. ∴R=，∴体积为·4348

12分

6

. 8∴该三棱锥外接球的体积为

八、

14分