1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）特级教师教学实录

1.3.2球的体积和表面积

一、

教学目标

知识目标：

1、掌握球的体积公式V4R3、表面积公式S4R2. 32、会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力．

3、能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题．

能力目标：

通过类比、归纳、猜想等合情推理培养学生勇于探索的精神. 提高学生分析、综合、抽象概括等逻辑推理能力

情感目标：

通过寻求如何研究球的内切与外接的方法，培养学生将数学知识和生活实际相联系的意识，对学生进行“事物具有多面性”的辩证唯物主义思想教育. 二、

教学重点、难点

重点：球的体积和表面积的计算公式的应用. 难点：解决与球相关的“内接”与“外切”的几何体问题

三、教学过程

教学教学内容

环节

1.球的概念：

球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面所为成的几何体叫做球体，简称球. 一个球用表复

习

2．球的截面：

引

入

用一平面去截一个球O，设OO是平面的垂线段，O为垂足，且

ORdrO'设计意师生互动

图

A

ROC

- 1 -

示它的球心的字母表示，例如球O．

B

OOd，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以r

Rd为半22P

径的一个圆，截面是一个圆面

球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆

3、圆柱、圆锥、圆台的表面积公式分别是什么？柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？

（1）．多面体的面积和体积公式

名称

棱

柱

直棱柱

棱锥

和

正棱锥

S侧+S底

ch 各侧面积之棱

锥

S底·h 棱柱

×l S侧+2S底

侧面积(S侧) 直截面周长S底·h=S直截面·h 全面积(S全) 体

积(V)

教师提出问题，学生思考作

方面唤起学生对球体的概念的1ch′

2各侧面面积1S底·h 3答. 棱台

棱

台

正棱台

之和

1

2(c+c′)h′

S侧+S上底+S下底

1h(S上底+S下底3+S下底S下底) 认识，加深印象；另一方面，为本节做好必要的知识铺表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。

（2）．旋转体的面积和体积公式

名称

S侧

S全

圆柱

2πrl 2πr(l+r) πrh(即πV rl) 22圆锥

πrl ππr(l+r) 2圆台

π(r1+r2)l (r1+r2)l+2垫.

π(r1+r2) 12πrh 3122πh(r1+r1r2+r2) 3表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台

上、下底面半径，R表示半径。

- 2 -

3．正四面体：每个面都是正三角形的正三棱锥。

教学教学内容

环节

知

识

的

形

成

问题提出：球也是一个旋转体，它也有表面积和体积，怎样求一个球的表面积和体积也就成为我们学习的内容. 1．球的体积 可先求半径为R的半球的体积.为此，采用倒水做实验的方法，直师生共同完观得出球的体积公式. 取三个形状不同的容器，其中一个是半球形的，成倒水实一个是圆柱形的，一个是圆锥形的，它们的高和底面圆的半径长都是的学习验，教师引兴趣，让导学生探索发现，这些水恰好把圆柱形容器灌满.这个实验告诉我们，半球的体积发现球的体等于与它等底、等高的圆柱与圆锥的体积的差，就是：

积公式. 现并体验数学

中的美

学生发发学生从实验入手，激师生互动

图

设计意R.先在半球和圆锥容器里灌满水，然后倒入圆柱形容器里，我们可以12V半球V圆柱V圆锥R2RR2RR3所以，334V球R3

3

- 3 -

2球的表面积：（以后讲）

1V(h1S1h2S23hiSi)

教师讲解，学生感悟分割、近似、极限等思想

渗透微积分思想.

又∵hiR，且SS1S2Si1∴可得VRS，

3又∵V414R3，∴RSR3，

3332∴S4R即为球的表面积公式

小结：球的体积公式V自变量的函数。

4R3、表面积公式S4R2都是以R为

3

应

用

举

例

练习1：如果球的体积是36cm,那么它的半径是 .3

3

教师引导学生共同完成

让学生巩固加深

练习2：

若两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（ C ）

（A）8：27 （B）2：3 （C）4：9 （D）2：9 例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径,，求证： （1）球的体积等于圆柱体积的2

3（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.

证明：

（1）设球的半径为R，则圆柱的

底面半径为R，高为2R.

- 4 - 43则有V球=R，

3V圆柱=πR·2R=2πR，所以V球=V圆柱. 2323所学内容并灵

（2）因为S球=4πR，S圆柱侧=2πR·2R=4πR，所以S球=S圆柱侧.

变式1：把上一题的圆柱改为正方体，且正方体的棱长为a, 球的半径为多少？

变式2：若把球吹大到内切于正方体的棱，且正方体的棱长为a,此时球的半径又为多少？

变式3：若球接着吹大到刚好包围整个正方体即球各个顶点都在球面上，且正方体的棱长为a,此时球的半径又为多少？

22

活运用.

图1

应

用

举

例

图2 图3 例2、如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm与2 cm，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm的正方形. (1)求该几何体的全面积. (2)求该几何体的外接球的体积. 【审题指导】根据本题所给条件中的三视图，判断该几何体的形状与几何体中相关的数量关系，根据这些求该几何体的全面积及其外接球的体积.

【规范解答】(1)由题意可知，该几何体是长方体，

底面是正方形，边长是4，高是2，………………………3分

因此该几何体的全面积是：

2×4×4+4×4×2=64 (cm2), 即几何体的全面积是64 cm2. ……………………… 6分

- 5 -

(2)由长方体与球的性质可得，长方体的体对角线是球的直径，记长方体的体对角线为d,球的半径是r, 所以球的半径为r=3. d16164366， …………………………………………………9分

因此球的体积

所以外接球的体积是36π cm3. ………………………12分

1.

球的大圆面积增大为原来的4倍，则体积增大为原来的 8 倍；

2.

一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的

学生思考、解答，老师巡视，个别指导，发现共性问题，及时让同学讨论.

巩固所学知识,培养学生的分析和解决问题的能力以及基44Vr32736

cm3,33课堂

练习

3.

有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球

过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比

本的运

算能力.

思考：若把正方体A、B、 C1、D1

连接起来成一个什么图形？这个图思考形的外接球半径等价于什么图形外接球的半径？

题

1．通过做实验的方法，获得了球的体积公式和表面积公式. 2．掌握球的体积公式课堂

准备

学生小结,可以逐步提学生小何体关键结,教师完善. 高学生自我获取知识复习做

为高三323体积为＿＿＿＿＿＿＿cm3. 1:22:33_____________. 4VR3、表面积公式3S4

R小结

3．熟练掌握球的内切、外接问题

解决此类问题的实质就是根据几的相关数据求球的直径或半径，

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是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.

1、课本P29 B1 2、 2、半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的边长为

6，求半球的表面积和体积。

解：作轴截面如图所示，

课下学生独立完的能力.教师完善，使知识更系统化.

CC6， AC2623，

设球半径为R，

则ROCCC2

A22成. D'A'DOB'BCC'(6)2(3)29

作业

∴R3，

∴S球4R36，

2A'RAOC'C4V球R336．

3

思考题：

正三棱锥的高为 1，底面边长为26。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。

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