习题4.1课时教学实录

与圆有关的轨迹方程问题教学设计

一.

教材分析

本节课是习题课，在此之前，学生已经学习过了《圆》这一章，与圆有关的轨迹方程问题教材当中多次涉及到，比如《圆的一般方程》例5（P112）就涉及到了相关点代入法，相应习题4.1B组三道题目分别涉及到了定义法，消参法，直译法，本节课由习题4.1B组三道题目出发，对与圆有关的轨迹方程问题进行探究归纳总结. 二.

教学目标

知识与技能：

1、学习与圆有关的轨迹方程问题的四种常见求法. 2、能够针对不同的问题采取恰当的方法解决问题. 过程与方法：

1、在用不同方法解决轨迹方程问题的过程中认识到不同问题不同解决方法. 2、在教师引导中培养学生主动探究的精神. 情感态度与价值观：

1、通过利用《超级画板》进行探究的过程中体会到数学探究的趣味性及灵动性. 2、通过对“阿氏圆”的知识拓展，渗透数学文化，开拓学生的数学视野，认知

数学的文化价值，为今后数学学习留下发展空间. 三.

教学重难点

重点：求轨迹方程问题的四种常见求法. 难点：1、在利用定义法求轨迹方程问题中，如何寻找动点所满足的圆的定义. 2、相关点代入法以及什么时候可以利用相关点代入法. 3、消参法以及如何消参. 四.

学情分析

《圆》这一章节相对而言，学生掌握得并不是很好，所以，在教学过程中，尽量让学生融入到课堂教学活动中，是非常有必要的.特别注意的是，本节课会涉及到直径式方程，这一知识点学生经常会忽略掉，所以，应该要提醒学生通过教材4.1A组第5题对直径式方程进行复习.同时，对于这类习题课，学生兴趣不够，容易走神，为了解决这个问题，在教学过程中，我适当融入《超级画板》进行动态演绎，使得课堂灵动，增强趣味性. 五.

教学方法：教师引导，学生探究. 六.

教学用具：PPI，《超级画板》.

七.

教学流程

1、

以人教A版必修二P124 B组题1作为问题引入，此题由学生独立完成，然后教师提问

学生，引出求与圆有关的轨迹方程问题的第一种方法———定义法：

动点在运动过程

中始终满足圆的定义——动点到定点的距离等于定值. 【例1】

等腰三角形的顶点A的坐标是(4,2)，底边一个端点B的坐标是（3,5），

求另一个端点C的轨迹方程.

解：注意到ACAB34252210，

故点C到定点A的距离为定值，

故动点C在以A为圆心，10为半径的圆上，

又点C不与B重合，且不与A,B共线，故其轨迹方程：

x4y210（不包含(3,5)，(5,-1)）. 22值得注意的是，在本道题目当中，学生经常会犯的一个错误就是解题不完整，没有把该扣除的两点扣除，特别是忽略了共线的情况.为了解决这个问题，可以事先利用《超级画板》作出轨迹图形，然后通过提问的方式：“本道题目解答完整了么”，然后打开超级画板，拖动点C运动，引导学生观察发现问题所在. 2、

牛刀小试：定义法是我们最基本的一种方法，在高二年学习圆锥曲线过程中经常遇到，在这里，不妨先埋下一颗种子，以2014年全国卷为例进行赏析，让学生进一步领会. 练习1：（2014，全国，理14）

由动点P向圆x²+y²=1引两条切线PA,PB，切点分别

为A,B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为

.

变式：由动点P向圆x²+y²=1引两条切线PA,PB，切点分别为A,B，∠APB=90°，则动

点P的轨迹方程为

. 答案：x²+y²=4；x²+y²=2. 练习2：

过点P(2,2)的直线l与圆O:x²+y²=1交于E,F，求弦EF中点M的轨迹方程. 解：

连接OM,MP，注意到不管动点M运动到何位置，动点M始终满足OM⊥OP,

从而点M在以OP为直径的圆上，故点M的运动轨迹为：

x0x2y0y20，

22化简得x1y12（xy1）. 22

总结：

在本道题当中，我们通过观察发现

动点在运动过程中始终满足圆的定义——动点与两

个定点构成的两条直线互相垂直，我们可以利用直径式方程求解轨迹方程. 值得注意的是，在本道题目当中，有三点要去注意，第一，就是如何引导学生通过观察发现动点与两个定点构成的两条直线互相垂直，从而利用直径式方程去求解；第二是圆的直径式方程学生并不太熟悉，应该引导学生通过教材中习题4.1A组第5题进行复习；第三，范围问题学生常常忽略，本道题点M是弦的中点，故在圆O内，为了解决这个问题，一样的，可以事先利用《超级画板》作出轨迹图形，然后在解答完成后，以动画的形式呈现出来，然后通过提问的方式：“大家观察这个动画，你发现了什么问题？本道题目解答完整了么”，引导学生思考进而对范围进行限制.

3、小结：

请大家回顾下，在利用定义法求与圆有关的轨迹方程问题当中，常见的圆的定义有哪些呢？

4、以人教A版必修二P124 B组题3为例，此题由学生独立完成，并请一位同学上台板书，引出求与圆有关的轨迹方程问题的第二种方法——直译法：直接将题目当中的几何条件翻译成代数关系，同时补充下数学文化：到两定点距离比为定值k（k≠1）的轨迹一定是圆，这个轨迹是由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，我们称之为阿氏圆.一方面可以激发学生的学习兴趣，另一方面也有利于引导学生课后进一步探索.

【

例2】

已知点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比是1/2，求点M的轨迹. 解：设M（x，y），由题知2PMAM1222222，故4PMAM，即4xyx3y

2222化简得x1y4，故M的轨迹方程为：x1y4. 5、对人教A版必修二P124 B组题1进行变式，此题由教师引导学生完成，引出求与圆有关的轨迹方程问题的第三种方法——相关点代入法：一个主动点在一个轨迹上运动，带动了一个被动点，可以用被动点的横纵坐标表示出主动点的横纵坐标，再代入主动点的轨迹方程中，

即可求出. 【

例1】 等腰三角形的顶点A的坐标是(4,2)，底边一个端点B的坐标是（3,5），求

另一个端点C的轨迹方程. 【

变式】

△ABC中，顶点A(4,2)，B(3,5)，点C在圆O:x²+y²=1上运动，求△ABC重

心M的轨迹方程. 43x0xx03x73解：设M（x，y），Cx0,y0，，

y25y0y3y703又点C在圆O上运动，故x02y021代入得3x73y71，

22717122化简得x3y7，故轨迹方程为x3y7. 3939值得注意的是，在学生接触到本题之前，是没有比较好的解题思路，原因在于定义法不明显，几何条件又比较“隐蔽”，这时候应该要引导学生发现这个“隐蔽”的几何条件——重心坐标和顶点坐标关系，以及动点在圆上这个条件，本道题目自然就能够得到解决；同时，在归纳相关点代入法的时候，可以通过提问学生“什么时候可以使用相关点代入法”，归纳出“双动点”问题.

6、以人教A版必修二P124 B组题2作为问题引入，此题由由教师引导学生完成，引出求与圆有关的轨迹方程问题的第四种方法——消参法：通过选取适当的参数，分别用参数表示动点的横，纵坐标x，y，再消去参数，即得可到x,y的关系，即为所求的动点的轨迹方程. 【

例3】

长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB中点P的轨迹方程. 22x10xx12x2解：设Px,y,Ax1,0,B0,y2，故yy20y22y2

又AB2x100y22222x12y22222x2y2222a

化简得xya，故轨迹方程为：xya. 另解：连接OP，注意到OP1APa，故轨迹方程为：x2y2a2. 2值得注意的是，本道题目有两种思路。第一种思路，类似于上面一道例题，可以引

导学生发现“隐蔽”的几何条件——中点坐标和端点坐标关系，以及定长这个条件，本道题目自然就能够得到解决，不过如何消参需要去突破一下；第二种思路，利用定义法，如果定义法学生不好看出来的话，可以利用《超级画板》先展示轨迹，然后提问学生圆心在哪里？半径为何值？引导学生通过连接OP，从而利用定义法解决问题.具体学生会优先想到哪一种方法要具体情况具体分析.

7、归纳消参法之消单参：（之前课上已经讲解，仅作为归纳，不讲）

(人教A版必修二P123 练习题2（3）) 【

例题4】

已知动圆x2y22ax23ayM的运动轨迹方程.

32a，求圆心08、总结：今天我们学习了与圆有关的轨迹方程问题的四种常见求法，有哪四种呢？

9、课后练习：

练习3：如图，定点A和B都在平面α内，定点P不在α内，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，那么动点C在平面α内的轨迹是

（

）.

A.一条线段

B.一个圆

C.一条线段，但要去掉两个点

D.一个圆，但要去掉两个点

练习4：点P(2,2),点A在圆O：x²+y²=1上运动，取AP中点Q，求动点Q的轨迹方程. 八.

教学反思

优点：

1.

思路比较清晰，四种方法还是能够贯穿下去. 2.

能够立足教材，从课本例题出发，总结方法. 3.

在教学中能够融合《超级画板》，动态演绎动点轨迹问题，使得课堂生动形象，探

究的趣味性及教师的引导性也得到提高. 不足：

1、在上课的时候有些紧张，在讲解练习2的时候，忘记讲解范围的限制. 2、时间比较紧凑，例题相对比较多，留给学生训练的时间还不够充分.