3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优秀教学设计

必修二第三章 3.1.1 直线的倾斜角与斜率

教学目标

1.知识与技能

（1）通过实例，,了解倾斜角与斜率的几何意义；

（2）理解倾斜角与斜率的联系；

（3）会用倾斜角与斜率的联系解决实际问题. 2.过程与方法：通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力. 3.情感态度价值观

（1）倾斜角与斜率的核心问题是让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；

（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。培养学生掌握“理论来源于

实践，并把理论应用于实践”的辨证思想

重点难点

1.教学重点：理解倾斜角与斜率的联系

2.教学难点：利用倾斜角与斜率的联系解决实际问题. 教学策略与方法

3.教学方法：启发讲授式与问题探究式．

教学过程

（一）创设情境，揭示课题

问题1 在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢？

问题2 过一点P可以作无数条直线l1，

l2

，

l3

，…它们都经过点P组成一个直线束），这些直线区别在哪里呢？容易看出，它们的倾斜程度不同．怎样描述直线的倾斜程度呢？

除了再用一点外，还有其他方法吗？可以增加一个什么样的几何量？（估计不少学生能意识到需要有一个角）

由此引导学生归纳，确定直线位置可有两种方式

（1）已知直线上两点；（2）已知直线上一点和直线的倾斜程度。

问题3 角的形成还需一条线，也就是说要有刻画倾斜程度的角，就必须还有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系

下

，以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角？（学生可能回答 x轴或y轴）以 x轴或y轴为基准都可以，习惯上我们用x 轴。

问题4 与 x轴形成角的直线有几条？

（学生可能答一条或两条，几何画板显示结果）

如何区分清楚这两条直线呢？估计学生能想到还需要确定方向。选择哪个角来描述直线的倾斜程度，就能保证坐标系下的任何一条直线都有唯一的角与它对应呢？

（教师引导学生选取不同的方向来描述角，并区分）。

数学概念来刻画事物时，讲求统一美与简洁美，如何用数学语言准确描述这个角呢？（揭示课题）

1、倾斜角的定义：

在平面直角坐标系中，以 x轴为基准，当直线l与 x轴相交时，

x轴正向与直线 l向上方向之间所成的角

，叫做直线l的倾斜角。

学生练习画出过点的各种倾斜角的直线。

学生容易忽略与 x轴平行的直线，补出该图，问倾斜角在哪儿？如何规定？

规定：当直线

与 x轴平行或重合时，它的倾斜角为0。

自然有倾斜角的范围是0

,180



这样平面直角坐标系中每条直线都有唯一一个确定的倾斜角与它对应。

倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等。

以上定义了一个从“形”的角度用倾斜角刻画平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。

（二）巩固旧知，升化新知

生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，对于斜坡的倾斜程度，可以用什么量来反映？（坡角与坡度）初中对坡度是如何定义的？（即坡角

的正切值）

当坡角增大时，坡度如何变化？升高量、前进量分别是什么？坡度分别是什么？

坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。

2、斜率：倾斜角不是90的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。即

ktan

问题5 生活中坡角没钝角，当为钝角时，直线的斜率如何求？（转化到其补角上）

如：倾斜角，则斜率

ktan()=1. tan(若两个角互补，则它们的正切值互为相反数（直角除外）) 问题6 当

在0

,180

)内变化时，斜率k如何变化？

（三）尝试推导，深化认识

两点确定一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程度，即倾斜角与斜率。看来，直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系。

问题8 在平面直角坐标系中，已知直线上不同的两点P1,P2，且能否用P1,P2的坐标来表示直线斜率？

（学生活动）：随意在坐标系下画两点

P1 （

x1 ，y1），

P2 （

x2 ，y2）并且x1 ≠x2及直线l ，探究各种图形并尝试推导，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中，类似升高量，前进量，用点的坐标表示线段长，并请同学叙述各个图的推导过程与结果。

解：设直线P1 P2的倾斜角为α（

α

≠90°

），当直线P1 P2的方向（即从P1指向P2的方向）向上时，过点P1作

x 轴的平行线，过点P2作

y 轴的平行线，两线相交于点 Q，于是点Q的坐标为（

x2，y1

）．

（1）当为锐角时，QP1P2，x1x2,y1y2，在直角QP1P2中，tantanQP1P2QPyy221. QPx2x11

（2）当

为钝角时。（让两名学生分组推导板书演示）

同样，当

P1,P2的方向向上时，也有该结论成立。

思考：1 各种一般情形得出的结论一致吗？与P1,P2这两点坐标顺序有关系吗？

2 当直线平行于y 轴，或与y 轴重合时，上述结论仍适用吗？

3 当直线P1,P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？

（四）例题巩固

例1 (1) 已知直线的倾斜角为1200，则这条直线的斜率为________. (2) 已知直线的斜率为3，则这条直线的倾斜角为________. (3) 已知直线斜率的绝对值为

3,则这条直线的倾斜角为________. 一般性结论：

当k = tanα< 0时，倾斜角α是钝角；当k = tanα> 0时，倾斜角α是锐角；当k = tanα= 0时，倾斜角α是0°。

例2 （1）已知直线过点A（18 ，8），B（4，-4），则这条直线的斜率为_____；其倾斜角是锐角还是钝角？

（2）已知在x轴上有一点P与Q（2，3）倾斜角为150o,点P的坐标为_________. （五）课堂练习

课本第86页 练习 （六）归纳小结

1.

倾斜角、斜率的概念；

2.

斜率与倾斜角之间的关系；

3.

斜率的计算公式. 4.斜率的计算公式（2）直线的斜率公式

。

（七）布置作业

课本P89，习题3.1 [A组] 第1，2，3，4题。