探究与发现 为什么截口曲线是椭圆优质教案设计

2018年一师一优课

教学设计

课题：

为什么截口是椭圆

教材：

人教版2003课标版

选修1-1第36页

学校：四川省峨眉第二中学校 教师： 邱 毅

1

为什么截口是椭圆

（人教版2003课标版选修1-1第36页）

四川省峨眉第二中学校 邱 毅

教材分析：

1.在学习椭圆第一定义的基础上介绍椭圆的截面定义，体会椭圆之所以作为圆锥曲线的一种背后的由来；

2.从数学文化史的角度介绍Germinal Dandelin的双球法将这两种定义予以了统一；

3.教材将圆锥变化为圆柱，用同样的方法也可以截得椭圆，让学生在近似的情境下反复经历逐渐深入的探究过程. 目标分析：

1.知识分析：

学生在2.1.1已经学习了椭圆的第一定义，同时在必修2已经学习了立体几何的部分知识，对理解椭圆的截面定义有一定基础；

2.能力分析：

通过截口曲线为椭圆这个知识的证明，利用数形结合的数学思想为桥梁和纽带指向空间想象能力的形成. 利用化归与转化的数学思想为桥梁和纽带指向推理论证能力的形成；

3.素养分析：

本节探究与发现指向逻辑推理、数学建模、直观想象等学科核心素养的形成.每个核心素养分为三个水平要求. 数学建模：

水平一：能够在从圆锥变到圆柱的过程中，模仿学过的数学建模过程解决问题；

水平二：能够在从圆锥变到圆柱这个关联的情境中，经历数学建模的过程，理解建模的意义，能够运用数学语言，表述数学建模过程中的问题以及解决问题的过程和结果. 水平三：能够理解建立数学模型的意义和作用，能够运用数学语言，清晰、准确地表达数学建模的过程和结果. 直观想象

水平一：能够通过圆锥和圆柱以及截面图形直观认识数学问题；能够用图形描述和表达熟悉的数学问题，体会数形结合；

水平二：能够在将圆锥、圆柱和截面在关联的情境中，想象并构建相应的几何图形；

水平三：能够综合利用圆锥、圆柱图形与截面图形，圆锥、圆柱图形图形与截面上点所满足的数量关系，理解数学各分支之间的联系，能够通过想象对复杂的数学问题进行直观表达，反映数学问题的本质，形成解决问题的思路. 逻辑推理：

水平一：能够掌握圆锥截面是椭圆的证明过程，并有条理地表述论证过程；

水平二：能够把椭圆的截面定义关联到椭圆的第一定义，在网状的知识结构中找

2

到两者的联接.通过对条件与结论的分析，探索论证的思路予以证明，并能用准确的数学语言表述论证过程；

水平三：能够在所提供的圆锥和圆柱的情境中，用数学的眼光找到线段和为定值作为研究对象，提出将其和表达为定值这个数学问题. 教学重点与难点：

重点：截口曲线是椭圆的证明；

难点：

1.两种定义之间的联结；

2.从知识到能力发展之间的连结、学科核心素养水平的达成. 教学过程：

1.情境与问题

请四个学习小组分别使用已经准备的材料想办法“创造”出一个椭圆：

第一小组：一条绳子、两个图钉、一只笔；

第二小组：一个装了一定体积的水的密闭透明的圆锥形玻璃容器；

第三小组：一个从卷纸内部取下来的圆柱形纸筒、一把小刀；

第四小组：一个小球和一只手电筒. 设计意图：

（1）设置情境，提出问题.四个小组的情境设置中蕴含的数学背景分别是：第一小组为椭圆的第一定义；第二小组将圆锥倾斜放置时，水平面是椭圆；第三小组将圆柱形纸筒倾斜切割时截面是椭圆；第三小组将手电筒与投影面成一定角度将小球投影时，投影图形是椭圆. （2）高中教材中给出的圆锥曲线的定义都是源于解析法，难以给学生“圆锥”的感受，不足以揭示圆锥曲线之所以被称为“圆锥曲线”的原因.其实，在解析法诞生之前，很早就有了关于圆锥曲线的研究，与欧几里得、阿基米德齐名的古希腊数学家阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，约公元前262～190年），在他的著作《圆锥曲线论》几乎将圆锥曲线的性质网罗殆尽.从而产生“圆锥曲线”一词，圆锥曲线来源于平面截圆锥面，这一点大家都知道，但平面截圆锥面的截口曲线为什么就是我们熟悉的圆锥曲线，却不是大家都熟悉的事情.这里适当给学生介绍圆锥曲线的起源，将数学文化史融入到数学教学中. 2.知识与技能

我们从第二小组的实验中可以发现，装了一定体积的水的密闭透明的圆锥形玻璃容器倾斜一定角度，水面与锥面的交线很象是椭圆.也就是用一个平面去截一个圆锥，截口曲线有可能是椭圆. 截口曲线是否就一定是椭圆呢？请建立数学模型，画出直观示意图并尝试解决数学模型.

3

设计意图：

利用比利时数学家Germinal Dandelin在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切从而构建数学模型解决问题的办法，培养学生的创新意识，指向学生数学建模的学科核心素养. （1）抽象出数学模型

如图1，将圆锥内部放入两个球使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切.抽象出如右图所示的数学模型. （2）尝试解决数学模型

如图2，两球分别与截面相切于点E,F，在截口曲线上任取一点A.过点A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点C,B.由球和圆的几何性质，可以知道，AEAC,AFAB，于是AEAFABACBC. 由切点B,C的产生方法可知，它们之间的距离BC是定值.即截口曲线上任意一点A到两个定点E,F的距离之和为定值. 由椭圆的定义可知，截口曲线是椭圆.

图1 图2 3.思维与表达

请利用直观图写出严谨的证明过程. 设计意图：

回顾解决数学模型的认知过程，以数形结合的数学思想为桥梁和纽带培养学生空间想象能力，指向直观想象和学科核心素养. 以化归与转化的数学思想为桥梁和纽带培养学生推理论证能力，指向逻辑推理学

4

科核心素养. 先证预备知识：如图3，过球外任意一点做球的两条切线，则切线长相等.

图3 证明：过P做PA,PB与圆O相切，切点为A,B. 由POPO,OAOBr,OAPA,OBPB，可得

RtPAORtPBO，所以PAPB. 即过球外任意一点做球的两条切线，则切线长相等. 证明：

如图2，设A为截口曲线上任意一点，过点A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点C,B，设两球与截面的切点为E,F. 由预备知识可知，AEAC,AFAB，于是AEAFABACBC（定值）. 即截口曲线上任意一点A到两个定点E,F的距离之和为定值. 4.交流与反思

如图4，我们从第三小组的实验中可以发现，用小刀把卷纸内部取下来的圆柱形纸筒斜着切割，切割下来的圆筒边界也象是椭圆.也就是用一个平面去截一个圆柱，截口曲线可能是椭圆. 如图5，我们从第四小组的实验中可以发现，把一个小球放在桌面上，用一只手电筒发出与桌面成一定角度的光线，小球在桌面上的投影的边界也可能是椭圆.

图4 图5

5

截口曲线是否就一定是椭圆呢？请建立数学模型，画出直观示意图并尝试解决数学模型. 与同学交流与反思你的思考过程，最后写出严谨的证明过程. 设计意图：

从刚才经历完整的构建圆锥模型解决问题的过程中，转化到类似的解决圆柱问题的数学模型中，以化归与转化的数学思想为桥梁和纽带培养学生推理论证能力，指向逻辑推理学科核心素养.当然，学生在近似的情境下反复经历这样逐渐深入的探究过程，有利于培养学生发现问题、分类讨论、作图表达、推理论证等能力，在具体情境中反复提升直观想象、数学建模、逻辑推理等素养，积累数学探究活动经验. （1）抽象出数学模型

如图6，将圆柱内部放入两个球使得它们分别与圆柱的侧面、截面相切.抽象出如右图所示的数学模型. （2）尝试解决数学模型

如图7，两球分别与截面相切于点F1,F2，在截口曲线上任取一点P.过点P作圆柱的母线，分别与两个球相切于点F1,F2.由球和圆的几何性质，可以知道，PF1PF1,PF2PF2，于是PF1PF2PF1PF2F1F2. 由切点F1,F2的产生方法可知，它们之间的距离F1F2是定值.即截口曲线上任意一点P到两个定点F1,F2的距离之和为定值. 由椭圆的定义可知，截口曲线是椭圆.

图6 图7

6

（3）写出严谨的证明过程

如图8，设P为截口曲线上任意一点，过点P作圆柱的母线，分别与两个球相切于点F1,F2，设两球与截面的切点为F1,F2. 由预备知识可知，PF1PF1,PF2PF2，于是PF1PF2PF1PF2F1F2（定值）. 即截口曲线上任意一点P到两个定点E,F的距离之和为定值.

图8 （4）反思

我们从第二小组的实验中可以发现装了一定体积的水的密闭透明的圆锥形玻璃容器倾斜一定角度水面与锥面的交线是椭圆.这个倾斜的角度是任意角度都可以吗？水面可以过圆锥的顶点吗？

在第三组的试验中，我们只知道F1F2的长度是一个常数，这一常数与截面和圆柱的哪些要素有关呢？是否有具体的数量关系呢？

设计意图：

给出椭圆严谨的椭圆截面定义，在本堂课所关注的三个学科核心素养水平三上的更进一步提升. 通过实验我们发现，当水面过圆锥的顶点时，水面不是椭圆；当水面不过圆锥的顶点，但与母线平行时，水面不是椭圆；当水面与圆锥的轴平行时，水面不是椭圆（图9）.其实，在后续的学习中，我们就会知道，他们分别是另外的圆锥曲线.

7

图9 我们可以下一个严谨的椭圆截面定义：

椭圆是一个圆锥与其不过其顶点且与其所在母线交于同一叶上的一个平面相截而得到的平面曲线. 而相对于平面截圆柱的模型，如图10，我们抽象出平面MOO12N，设圆柱面的底面圆半径为R，则有O1MO1F1O2F2O2NR，且O1F1AF1,O2F2AF2. 设截面与圆柱面的轴所成角为，则有NAF2，易证O1AO22，且AF2与O1O2的交点为O1O2的中点，故可得O1AF1在直角三角形O1AF1中，AF1Rtan在直角三角形O2AF2中，AF2Rtan2. 2；

2；

所以，MNAMANAF1AF2Rtan

2Rtan22R. sin

8

图10 通过证明过程，我们可以知道，平面斜截圆柱生成截口曲线为椭圆中的这一常数与圆柱的底面半径和圆柱母线和截平面的夹角有关.当这二者为一定值时，截口曲线上任意一点到两定点的距离之和为一常数，所以截口曲线为椭圆.

5.小结：

1、知识

用平面切割圆锥和圆柱的方法来研究圆锥曲线，蕴含的数学文化背景是古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius of Perga，约公元前262～190年）的研究圆锥曲线的方法和比利时数学家旦德林（Germinal Pierre Dandelin ， 1794～1847）的双球证明法. 2、能力

空间想象能力、推理论证能力

3、素养

直观想象、逻辑推理、数学建模

6.作业：

阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，约公元前262～190年）是与欧几里得、阿基米德齐名的古希腊数学家，在他的著作《圆锥曲线论》几乎将圆锥曲线的性质网罗殆尽.从而产生“圆锥曲线”一词，请查阅与此相关的数学文化资料.

9