3.3.4 两条平行直线间的距离特级教师教学实录

第三章

直线与方程

第3.3.4节

两条平行直线间的距离

陆方云

一、内容及其解析 本节的学习重点就是两条平行之间的距离公式的推导及其应用。在此之前，学生已经学习了两点间的距离公式、直线方程、两直线的位置关系。两平行直线的距离公式是解决理论和实际问题的重要工具，它使学生对直线与直线的位置关系的认识从定性的认识上升到定量的认识。

两条平行线间的距离是高中课本必修2第三章直线的最后一节内容，学习到这节以后，可以求两条平行线间的距离，求三角形的高，求圆心到直线的距离等等，借助它也可以求点的轨迹方程，如角平分线的方程，抛物线的方程等等。

二、目标及其解析

目标：

1、理解两平行线间的距离的推导方法；

2．掌握平行线间的距离公式；

3．运用平行线间的距离公式解决实际问题

核心素养

1.逻辑推理

理解两平行线间的距离的推导方法；

2.数学计算

会计d|C1C2|A2B2算平行线间的距离．

3.数学建模

运用平行线间的距离公式解决实际问题．

要点提炼：

1、点到直线的距离公式

dAx0By0cA2B22、两条平行直线间的距离

d|C1C2|A2B2

三、问题诊断与分析

学生已掌握直线的方程和平面上两点间的距离公式和点到直线的距离公式,具备了探讨新问题的一定的基础知识,但大部分学生基础较差，很难理解，要多做练习。

四、教学过程

（一）复习准备：

（1）直线方程的一般形式：Ax+By+C=0(A,B不全为0)。

22（2）平面上两点P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)间的距离公式|PP12|(x2x1)(y2y1)

（3）两平行线间的距离公式（4）三角形的面积公式。

问：在应用点到直线的公式时对直线方程有什么要求？

说明：必须是方程的一般式。

（二）问题引入

直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)，B(0,1)，C(－1,2)三点，直线l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A，B，C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？

答：

点A，B，C到直线l2的距离分别为2，2，2.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等．

问题

：两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长度，如果我们知道两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：AxByC10，l2：AxByC20

如何把两平行直线间距离转化为点到直线的距离？

(1)定义：夹在两平行线间的公垂线段的长．

(2)图示：

d|C1C2|A2B2

(3)求法：转化为点到直线的距离．[来源学科网]

(4)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝

（三）解决问题

|C1－C2|A2＋B2. 解：设P0 (x0，y0)是直线Ax + By + C2 = 0上任一点，则点P0到直线Ax + By + C1 = 0的距离为d|Ax0By0C1|AB22

又Ax0 + By0 + C2 = 0 即Ax0 + By0= –C2，

∴d|C1C2|A2B2

问：使用此公式的前提条件是什么？

答：①是直线必须是一般式；

②是两直线中x,y的系数必须相同。

（四）应用和例题

例3：课本P108例7 练***行线l1：2x + 3y

– 8 = 0，l2：2x + 3y

– 10 =0的距离. 方法一：在直线l1上取一点P(4,0)，因为l1∥l2，所以P到l2的距离等于l1与l2的距离，于是

d|243010|2232213

13方法二：直接由公式

d|8(10)|2232213

13练习1：已知一直线被两平行线3x + 4y

– 7 = 0与3x + 4y + 8 = 0所截线段长为3，且该直线过点(2，3)，求该直线方程. 练习2：求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程；

解

：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，

由两平行直线间的距离公式，得2＝解得C＝32或C＝－20，

|C－6|52＋－2，

故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.

（五）、课后作业

1. 已知m0,则点P(m,2m)到直线yx的距离为( )

A.2m

2

B. 32m

2C. 5m

2D. 1m

22. 若直线垂直于3x＋4y-7=0且与原点的距离为6，则该直线方程为__________. 3. 倾角为45°，且与原点距离为5的直线方程是________________________. 4.已知x轴上一点P到直线3x＋4y-6=0的距离为4，则P点坐标为________. 5.已知点A（a，6）到直线3x－４y＝2的距离d=4，求a的值. 6.求与两条平行直线l1:2x3y80,l2:2x3y180的距离相等的直线方程。

7.已知一直线被两平行线3x+4y-7=0与3x+4y+8=0所截线段长为3.且该直线过点（2，3），求该直线方程。

（六）、知识点小结：

1. 点px1,y1到直线AxByC0的距离d=__________________. 2.两条平行直线l1:AxByC10与l2:AxByC20的距离是d______________.