3.1.3 导数的几何意义教学设计思路

3.1.3 导数的几何意义教学设计

一、创设情境、导入新课

师：上节课我们学习了导数的概念，请回答：函数在x含义？

生：函数在xx0处的导数f'(x0)的x0处的瞬时变化率.

fx0xf(x0)yfx0limlim

x0xx0x/师：那么，用定义求导数分哪几个步骤？同学们可参考教材第6页例1. yfx0xf(x0)生：第一步：求平均变化率；

xx/lim第二步：求瞬时变化率，即fx0x0y

xy师：非常好，并且我们从求导数的步骤中发现：导数就是求平均变化率当xx趋近于O时的极限.明确了导数的概念之后，今天我们来学习导数的几何意义. 二、引导探究、获得新知

y师：观察函数y=f(x)的图象，平均变化率在图中x什么几何意义？

生：平均变化率表示的是割线AB的斜率.

yy2yf(x)B有

yy2y1y1Axx2x1x1x2xy师：是的，平均变化率的几何意义就是割线的斜率. x

师：请看教材第7页图1.1-2： P是一定点，当动点Pn沿着曲线y=f(x)趋近于点

P时，观察割线PPn

的变化趋势图. （多媒体显示【动画1】）

yx=6.90yαPOTxMx0xx

生：当点Pn沿着曲线y=f(x)趋近于点P时，割线PPn趋近于在P处的切线PT. 师：看来这位同学已经预习了，他说的很对，“当点Pn沿着曲线y=f(x)逼近点P时，即x0，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线.”这就是切线的概念. 师：观察图①，曲线y=f(x)与它的割线有2个交点，与它的切线PT有1个交点. 那么，能否根据直线与曲线交点个数来判断直线与曲线的位置关系？

生：若曲线与直线有2个公共点，则它们相交；若曲线与直线有1个公共点，则它们相切. y=f(x)yl2l1yyAC0LBxxPoTx

① ②

师：观察图②，请指出（1）直线l1与曲线L是什么位置关系？（2）直线l2与曲线L是什么位置关系？

生：直线l1与曲线L相交，直线l2与曲线L相切. 师：直线l1与曲线L有唯一公共点但它不是曲线的切线，l2与曲线L不只一个公共点，但它是曲线在A处的切线.所以，今后我们不能用曲线与直线公共点的个数来判断它们的位置关系，应该从定义出发.

师：由切线的定义可知，

当x0时，割线PPn趋近于切线PT . 那么，割线PPn的斜率趋近于……？

生：切线PT的斜率. 师：割线PPn的斜率kny，当x0时，切线PT的斜率k就是……？

xlim生：kx0y

xfx0xf(x0)f/x0. 至此，请同学们总结，导数师：

即klimx0xf/x0有什么几何意义？

生：f/x0是PT的斜率. 师：直线PT是曲线yf(x)的……？

生：直线PT是曲线yf(x)在xx0处的斜率.

师：同学们说的非常好！（教师板书）

导数的几何意义：

函数在xx0处的导数就是切线PT的斜率k，即

klim

fx0xf(x0)ylimf/x0

x0xx0x师：那么，通过导数的几何意义，我们可以通过函数在某点处的导数，来得到其图像在该点处切线的斜率. 师：说出曲线yfx在x1,2,3处的切线的倾斜角. （1）//f/11；（2）f20（3）f33

生：45、0、120

四、知识应用、巩固理解

师：例1：求出曲线生：求出函数在x000f(x)x2在x1处的切线方程.你们想怎样求切线方程呢? 1处的导数f/1，就知道了所求切线的斜率. 师：求切线的斜率之后呢？

生：（摇头，回答不出）

师：好，那我们不妨先求出斜率（教师板书）

f(1x)f(1)(x)22x11kf'(1)limlimlim(x2)2x0x0x0xx那么，关于直线我们还知道哪些信息？

生：x1是切点的坐标

师：是切点的横坐标，那纵坐标呢？也是1

生：也是1，切点的坐标为（1，1）

师：知道直线上一点的坐标和斜率，那么直线方程……？

生：点斜式

y12(x1)，即2xy10（学生回答，教师板书）

yf(x)在xx0处的切线方程？

师：今后我们如何求曲线生：（1）求出f'(x0)，则f'(x0)就是曲线在xx0切线的斜率；（2）求切点；yf(x0)f'(x0)(xx0)

(3)写出切线的点斜式方程，师：同学们很棒！例2. 如图，它表示跳水运动中高度随着时间的变化的函数的图像.据图回答问题.请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况.

生：作出曲线在这些点处的切线. 师：曲线在t0处有怎样的变化趋势？

生：不知道怎么表达. 师：我们观察在t0处附近曲线几乎与切线l0重合，所以，我们可以用切线的变化趋势刻画曲线在该点附近的变化情况，这种思想方法叫“以直代曲”.那么，l0平行于x轴，即h'(t0)0，说明曲线在t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降. 师：在t1，t2处呢？

生：在t1，t2切线斜率h'(t1)0，h'(t2)0，所以，在t1，t2附近曲线下降，即函数h(t)在tt1，t2附近单调递减. 师：曲线在t1，t2处都是下降的，下降的速率一样吗？

生：不一样，在t2处都是下降的快. 师：你们如何得知的？

生：图像在t1处的切线倾斜程度小于在t2处切线的倾斜程度，说明曲线在t1附近

比在t2附近下降得缓慢. 五、分层练习、提升能力（看学案）

师：曲线

yx2上有一点P，过P的切线平行于直线y=4x-5，求P的坐标.

2生：设P的坐标为(x0,x0)，

2fx0xf(x0)x0xx02yf'(x0)limlimlimlimx2x02x04x0xx0x0x0xx即x02

所以，P的坐标为(2,4)

六、课堂小结

师：非常好！这节课我们学习了哪些内容？

生：（齐声回答）

一、切线的定义：

当点Pn沿着曲线yf(x)逼近点P时，即x0，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线. 二、导数的几何意义：

导数f'(x0)就是函数f(x)的图象在x0处的切线的斜率，即

fx0xf(x0)yklimlimf/x0

x0xx0x三、导数几何意义的应用. （1）用导数求切线斜率，进而求出切线方程；

（2）利用切线判断曲线在某点附近的变化趋势.（“以直代曲”）

七、作业布置

完成学案！

附：板书设计

1.1.3 导数的几何意义

一、切线的定义

二、导数的几何意义

导数f'(x0)就是函数f(x)的图象在x0处的切线的斜率，即

klimfx0xf(x0)ylimf/x0

x0xx0x三、导数几何意义的应用. （1）用导数求切线斜率，进而求出切线方程；

（2）利用切线判断曲线在某点附近的变化趋势.

例1：求出曲线解：曲线f(x)x2在x1处的切线方程. f(x)x2在x1处的切线斜率

f(1x)f(1)(x)22x11kf'(1)limlimlim(x2)2x0x0x0xx因为f(1)1，即切点的坐标为（1，1），所以

y12(x1)，即2xy10

切线方程为

学案

一.例题部分

例1.求曲线

f(x)x2在x1处的切线方程.

例2.如图，它表示跳水运动中高度随着时间的变化的函数的图像，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况.

二.练习

（A组）

1. 曲线

f(x)x上有一点P，过P的切线平行于直线y4x5，求P的坐标.

2.若曲线

（B组）

1.求曲线

2y2x24xp与直线y1相切，则p f(x)x3在x1处的切线方程.

2.如图，请描述yf(x)在x5,42,0,1附近的变化情况.

三.小结

这节课我学到了：