2.1.4 平面与平面之间的位置关系第一课时教学实录

专题四

立体几何初步

第4课时

平面与平面的位置关系

考情分析

了解平面与平面的位置关系，在判定和证明平面与平面位置关系时，除了能熟练运用判定定理和性质定理外，还要充分利用定义，注意线线关系，线面关系以及面面关系的转化．

理解面面垂直、面面平行的判定定理和性质定理，进一步掌握线线、线面、面面平行及垂直的相互转化. 考点新知

一：知识回顾：

1. (必修2P50习题1改编)设a、b为不重合的两条直线，α、β为不重合的两个平面，给出下列命题：

①

若a∥α且b∥α，则a∥b；②

若a⊥α且b⊥α，则a∥b；③

若a∥α且a∥β，则α∥β；④

若a⊥α且a⊥β，则α∥β.

其中为真命题的是________．(填序号) 答案：②④

解析：①错，a∥α，b∥α，直线a与b可能相交、平行或异面；③错，若α∩β＝l，a∥l，aËα，aËβ，则a∥α，a∥β.

2. (必修2P49练习4改编)如果平面α⊥平面β，直线l⊥平面β，则直线l与平面α的位置关系是________．

答案：直线l与平面α平行或直线l在平面α内

解析：不要忽略直线l在平面α内的情况．

3. (必修2P48习题12改编)已知直线a和两个不同的平面α、β，且a⊥α，a∥β，则α、β的位置关系是________．

答案：垂直

解析：运用两平面垂直的判定方法．

4. (必修2P51习题16改编)已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γÞβ⊥γ”是真命题，如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题的个数是________．

答案：2

解析：若α、β换为直线a、b，则命题化为“a∥b，且a⊥γÞb⊥γ”，此命题为真命题；若α、γ换为直线a、b，则命题化为“a∥β，且a⊥bÞb⊥β”，此命题为假命题；若β、γ换为直线a、b，则

命题化为“a∥α，且b⊥αÞa⊥b”，此命题为真命题，故真命题共2个．

5. (必修2P49练习4改编)a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题：

a∥c，a∥γ，c∥α，①

Þa∥b；②

Þa∥b；③

Þα∥β；

b∥cb∥γc∥βα∥γ，α∥c，α∥γ④

Þα∥β；⑤

Þα∥a；⑥

Þa∥α. β∥γa∥ca∥γ其中正确的命题是________．(填序号) 答案：①④

解析：②错在a、b可能相交或异面．③错在α与β可能相交．⑤、⑥错在a可能在α内．

二：知识归纳

1. 两平面平行的定义：如果两个平面没有公共点，那么我们就说这两个平面互相平行．

2. 两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

3. 两平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面互相垂直．

4. 两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

[备课札记]

三：例题讲解

题型1

两平面的平行

例1

(2013·江苏)如图，在三棱锥SABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E、G分别是棱SA、

SC的中点．求证：

(1) 平面EFG∥平面ABC；

(2) BC⊥SA.

证明：(1) ∵

AS＝AB，AF⊥SB，

∴

F是SB的中点．

∵

E、F分别是SA、SB的中点，∴

EF∥AB.

∵

EFË平面ABC，ABÍ平面ABC，

∴

EF∥平面ABC.

同理FG∥平面ABC.

∵

EF∩FG＝F，EF、FGË平面ABC，

∴

平面EFG∥平面ABC.

(2) ∵

平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，AFÍ平面SAB，AF⊥SB，

∴

AF⊥平面SBC.

∵

BCÍ平面SBC，∴

AF⊥BC.

∵

AB⊥BC，AB∩AF＝A，AB、AFÍ平面SAB，∴

BC⊥平面SAB.

∵

SAÍ平面SAB，∴

BC⊥SA.

如图，在四棱锥PABCD中，M、N分别是侧棱PA和底面BC边的中点，O是底面平行四边形ABCD的对角线AC的中点．求证：过O、M、N三点的平面与侧面PCD平行．

证明：∵ O、M分别是AC、PA的中点，连结OM，则OM∥PC.∵ OM∴

OM∥平面PCD.同理，知ON∥CD.∵ ON平面PCD，CDPCD，PC平面PCD，平面PCD，∴

ON∥平面PCD.又OM∩ON＝O，∴

OM、ON确定一个平面OMN.由两个平面平行的判定定理知平面OMN与平面PCD平行，即过O、M、N三点的平面与侧面PCD平行．

在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形. 求证：平面B1AC∥平面DC1A1. 证明：因为ABCDA1B1C1D1是直四棱柱，

所以A1C1∥AC.

又A1C1Ë平面B1AC，ACÌ平面B1AC，

所以A1C1∥平面B1AC.

同理，A1D∥平面B1AC.

因为

A1C1、A1DÌ平面DC1A1，A1C1∩A1D＝A1，

所以平面B1AC∥平面DC1A1.

题型2

两平面的垂直关系

例2

如图，三棱锥A-BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，AEAFF分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0＜λ＜1)．

ACAD(1) 求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

(2) 当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD. (1) 证明：∵

AB⊥平面BCD，∴

AB⊥CD.

∵

CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴

CD⊥平面ABC.

∵

AEAF＝＝λ(0＜λ＜1)，

ACAD∴

不论λ为何值，恒有EF∥CD.

∴

EF⊥平面ABC，EFÌ平面BEF.

∴

不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.

(2) 解：由(1)知，BE⊥EF，∵

平面BEF⊥平面ACD，∴

BE⊥平面ACD.∴

BE⊥AC.

∵

BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，

∴

BD＝2，AB＝2tan60°＝6.

∴

AC＝AB2＋BC2＝7.

由AB2＝AE·AC，得AE＝6AE6.∴

λ＝＝.

AC776故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD. 7

(2013江宁高中期中)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱

CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2. (1) 求证：

C1E∥平面ADF；

(2) 设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF? (1) 证明：连结CE交AD于O，连结OF.

CFCO2因为CE，AD为△ABC中线，所以O为△ABC的重心，＝＝.

CC1CE3从而OF//C1E.OFÌ平面ADF，C1EË平面ADF，所以C1E∥平面ADF.

(2) 解：

当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADF.

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，由于B1B⊥平面ABC，BB1Ì平面B1BCC1，所以平面B1BCC1⊥平面ABC.由于AB＝AC，D是BC中点，所以AD⊥BC.又平面B1BCC1∩平面ABC＝BC, 所以AD⊥平面B1BCC1.而CMÌ平面B1BCC1，于是AD⊥CM.因为BM ＝CD＝1，BC＝

CF＝2，所以Rt△CBM≌Rt△FCD，所以CM⊥DF. DF与AD相交，所以CM⊥平面ADF.CM⊥平面CAM，所以平面CAM⊥平面ADF.当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADF. 题型3

平行与垂直的综合问题

例3

如图①，E、F分别是直角三角形ABC边AB和AC的中点，∠B＝90°，沿EF将三角形ABC折成如图②所示的锐二面角A1EFB，若M为线段A1C中点．求证：

(1) 直线FM∥平面A1EB；

(2) 平面A1FC⊥平面A1BC.

证明：(1) 取A1B中点N，连结NE、NM，

11则MN∥=BC，EF∥=BC，所以MN∥=FE，

22所以四边形MNEF为平行四边形，所以FM∥EN，

因为FMË平面A1EB，ENÌ平面A1EB，

所以直线FM∥平面A1EB.

(2) 因为E、F分别为AB和AC的中点，

所以A1F＝FC，所以FM⊥A1C.

同理，EN⊥A1B.

由(1)知，FM∥EN，所以FM⊥A1B.

因为A1C∩A1B＝A1，所以FM⊥平面A1BC.

因为FMÌ平面A1FC，

所以平面A1FC⊥平面A1BC.

如图①，E、F分别是直角三角形ABC边AB和AC的中点，∠B＝90°，沿EF将三角形ABC折成如图②所示的锐二面角A1EFB，若M为线段A1C的中点．求证：

(1) 直线FM∥平面A1EB；

(2) 平面A1FC⊥平面A1BC.

11证明：(1) 取A1B中点N，连结NE、NM，则MN∥=BC，EF∥=BC，所以MN∥=FE，所以四边22形MNEF为平行四边形，所以FM∥EN.又FM平面A1EB，ENÌ平面A1EB，所以直线FM∥平面A1EB.

(2) 因为E、F分别为AB和AC的中点，所以A1F＝FC，所以FM⊥A1C.同理，EN⊥A1B.由(1)知FM∥EN，所以FM⊥A1B.又A1C∩A1B＝A1，所以FM⊥平面A1BC.因为FMÌ平面A1FC，所以平面A1FC⊥平面A1BC.

四：课堂练习：

1. (2013·常州调研)给出下列命题：

①

若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

②

若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

③

若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；

④

若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，真命题是________．(填序号) 答案：①③④

解析：由面面垂直的判定定理可得若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故①正确；如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，但两条直线平行时，得不到平面平行，故②错误；根据空间直线夹角的定义，可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等，故若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直，即③正确；根据面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故④正确．因此真命题是①③④. 2. 下列命题错误的是________．(填序号) ①

如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；

②

如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；

③

如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ；

④

如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.

答案：④

3. 如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)

解析：由已知条件可知，BD⊥PC.∴

当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC属于平面PCD，∴

平面MBD⊥平面PCD. 4.

如图①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．如图②，将△ABE沿AE折起，使二面角BAEC成直二面角，连结BC、BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点．求证：

(1) AE⊥BD；

(2) 平面PEF⊥平面AECD.

图①

图②

证明：(1) 取AE中点M，连结BM、DM、DE.

∵

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，∴

△ABE与△ADE都是等边三角形，∴

BM⊥AE，DM⊥AE.∵

BM∩DM＝M，BM，DMÌBDM.∵

BDÌ平面BDM，∴

AE⊥BD.

(2) 连结CM交EF于点N，连结PN.

∵

ME∥FC，且ME＝FC，∴

四边形MECF是平行四边形，∴

N是线段CM的中点．∵

P是线段BC的中点，∴

PN∥BM.∵

BM⊥平面AECD，∴

PN⊥平面AECD.∵

PNÌ平面PEF，∴

平面PEF⊥平面AECD. 平面BDM，∴

AE⊥平面

5. 如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，在棱AB上是否存在一点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1？若存在，求点F的位置；若不存在，请说明理由．

解：存在这样的点F，使平面C1CF∥平面ADD1A1，此时点F为AB的中点，证明如下：

∵

AB∥CD，AB＝2CD，∴

AF綊CD，∴

四边形AFCD是平行四边形．∴

AD∥CF.

又ADÌ平面ADD1A1，CFË平面ADD1A1，

∴

CF∥平面ADD1A1.

又CC1∥DD1，CC1Ë平面ADD1A1，DD1Ì平面ADD1A1，∴

CC1∥平面ADD1A1.

又CC1、CFÌ平面C1CF，CC1∩CF＝C，

∴

平面C1CF∥平面ADD1A1.

五：课堂小结

1. 判断或证明面面平行的常用方法：

(1) 利用两个平面平行的定义；

(2) 利用两个平面平行的判定定理(aÌα，bÌα，a∩b＝A，a∥β，b∥βÞ2. 判定面面垂直的方法：

(1) 利用两个平面垂直的定义，两个平面所成的二面角是直二面角；

(2) 利用平面与平面垂直的判定定理(l⊥α，lÌβÞα⊥β)．

3. 平面与平面平行、垂直的性质的作用：

(1) 两平面平行常常用来作为判定直线与平面平行或直线与直线平行的依据；

(2) 两平面垂直常常用来作为判定直线与平面垂直的一个途径．

4. 证明平行、垂直问题时要注意“转化思想”的应用，要抓住线线、线面、面面之间平行或垂直关系的相互转化，达到解题目的．

请使用课时训练（A）第4课时（见活页）.

α∥β)．