习题2.3优秀完整教案

直线、平面垂直的判定及性质

1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(

) A．m∥l

B．m∥n

C．n⊥l

D．m⊥n

解析

∵α∩β＝l，∴l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l.故选C. 2．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的(

) A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析

由“m⊥α且l⊥m”推出“l⊂α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l⊥m”，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件，故选B. 3．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是(

) A．若l∥α，l∥β，则α∥β

B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β

C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β

D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

解析

对于A，若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，故A错误；易知B正确；对于C，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错误；对于D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系不确定，故D错误．故选B. 4．已知如图，六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABCDEF.则下列结论不正确的是(

)

A．CD∥平面PAF

B．DF⊥平面PAF

C．CF∥平面PAB

D．CF⊥平面PAD

解析

A中，因为CD∥AF，AF⊂平面PAF，CD⊄平面PAF，所以CD∥平面PAF成立；

B中，因为ABCDEF为正六边形，所以DF⊥AF，

又因为PA⊥平面ABCDEF，所以PA⊥DF，

又因为PA∩AF＝A，所以DF⊥平面PAF成立；

C中，因为CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，所以CF∥平面PAB；而D中CF与AD不垂直．故选D. 5．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(

) A．α∥β且l∥α

B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l

D．α与β相交，且交线平行于l

解析

若α∥β，则m∥n，这与m、n为异面直线矛盾，所以A不正确，α与β相交．将已知条件转化到正方体中，易知α与β不一定垂直，但α与β的交线一定平行于l，从而排除B，C.故选D. 6．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC. 其中正确的个数是________．

解析

如图所示．∵PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.

又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.同理PB⊥AC，PC⊥AB. 但AB不一定垂直于BC. 7．设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：

①若a∥α，b∥β，且α∥β，则a∥b；

②若a⊥α，且a⊥β，则α∥β；

③若α⊥β，则一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β；

④若α⊥β，则一定存在直线l，使得l⊥α，l∥β. 上面命题中，所有真命题的序号是________．

解析

①中a与b可能相交或异面，故不正确．②垂直于同一直线的两平面平行，正确．③中存在γ，使得γ与α，β都垂直．④中只需直线l⊥α且l⊄β就可以．

8．如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有________(写出全部正确命题的序号)．

①平面ABC⊥平面ABD；

②平面ABD⊥平面BCD；

③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；

④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.

解析

由AB＝CB，AD＝CD知AC⊥DE，AC⊥BE，从而AC⊥平面BDE，故③正确．

9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：

(1)CD⊥AE；

(2)PD⊥平面ABE.

证明

(1)∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴CD⊥PA. 又CD⊥AC，PA∩AC＝A，

故CD⊥平面PAC，AE⊂平面PAC. 故CD⊥AE. (2)∵PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，故PA＝AC. ∵E是PC的中点，故AE⊥PC. 由(1)知CD⊥AE，由于PC∩CD＝C，

从而AE⊥平面PCD，故AE⊥PD. 易知BA⊥PD，故PD⊥平面ABE. 10．[2018·湖南永州模拟]如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.

(1)证明：SD⊥平面SAB；

(2)求四棱锥S－ABCD的高．

解

(1)证明：如图，取AB的中点E，连接DE，DB，

则四边形BCDE为矩形，

∴DE＝CB＝2，

∴AD＝BD＝5. ∵侧面SAB为等边三角形，AB＝2，

∴SA＝SB＝AB＝2. 又SD＝1，

∴SA2＋SD2＝AD2，SB2＋SD2＝BD2，

∴∠DSA＝∠DSB＝90°，即SD⊥SA，SD⊥SB，SA∩SB＝S，

∴SD⊥平面SAB. (2)设四棱锥S－ABCD的高为h，则h也是三棱锥S－ABD的高．

由(1)，知SD⊥平面SAB. 11由VS－ABD＝VD－SAB，得3S△ABD·h＝3S△SAB·SD，

S△SAB·SD∴h＝. S△ABD11又S△ABD＝2AB·DE＝2×2×2＝2，

33S△SAB＝4AB2＝4×22＝3，SD＝1，

S△SAB·SD3×13∴h＝＝2＝2. S△ABD3故四棱锥S－ABCD的高为2.