3.1.1 空间向量及其加减运算教学设计案例

§3.1.1空间向量及加减其运算

【学情分析】：

向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。在人教A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。

【教学目标】：

（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法

（2）过程与方法：通过高一学***面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法

（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。

【教学重点】：

空间向量的概念和加减运算

【教学难点】：

空间向量的应用

【教学过程设计】：

教学环节

教学活动

设计意图

从实际生活的例子出发，使学生对不共面的向量有一个更深刻的认识。说明不同在一个平面内的向量是随处可见的。

（1）

一块均匀的正三角形的钢板所受重力为500N，在它的顶点处分别受力F1，F2，F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之一．情景间的夹角都是60o，且| 引入

F1|=|F2|=|F3|=200N，这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力至少

多大时，才能提起这块钢板？

（2）

八抬大轿中每个轿夫对轿子的支持力具有怎样的特点？？

让我们将以前学过的向量的概念和运算回顾一下，看它们是只限于平面上呢？还是本来就适用于空间中。

请学生自行阅读空间向量的相关概念：空间向量定义、模长、零向量、单位向量、相反二．新旧向量、相等向量。

知识比

请学生比较与平面向量的异同。

较

向量概念的关键词是大小和方向，所以它应既适用于平面上的向量，也适合于空间中的向量，二者的区别仅仅在于：在空间中比平面上有更多的不同的方向。因此平面几何中的向量概念和知识就可以迁移到空间图形中。

通过比较，既复***面向量的基本概念，又加强了对空间向量的认识，注重类比学习，提高学生举一反三的能力。

（1）空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。

如图，对于空间任何两个向量a,b，可以从空间任意一点O出发作OAa,OBb，即用同一平面内的两条有向线段OA,OB来表示a,b

BDbbA让学生知道，数学O中研究的向量是a三．类比自由向量，与向量C推广、探的起点无关，这是

求新知

数学中向量与物（2）在平面图形中向量加减法的可以通过三角理中矢量的最大形和平行四边形法则，同样对于空间任意两个区别。

向量a,b都看作同一平面内的向量，它们的加法、减法当然都可以按照平面上的向量的加法和减法来进行，不需要补充任何新的知识，具体做法如下：

如图，可以从空间任意一点O出发作空间三个或更多的向量相加，不能OAa,OBb，并且从A出发作ACb，则同时将这些向量都用同一个平面abOC,abBA. 上的有限线段来BC表示，但仍然可以用将它们依次用bD首尾相接的有向线段来表示，得到bAO它们的和。比如：a三个向量的和C

ABBCCDAD,一般地,空间中多个依次用首尾

探索1：空间三个以上的非零向量能否平移至一个明面上？

探索2：多个向量的加法能否由两个向量的加法推广？

（3）

思考《选2-1》课本P85探究题

归纳：向量加（减）法满足交换律和结合律。

相接的有向线段相加的结果等于起点和终点相连的有向线段。我们常常把向量的这种性质ABBCCDAD简称为“封口向量”。

1．课本P86练习1-3 2．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是BB1的中点，

化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：

四．练习（1）CBBA; 1巩固

（2）ACCBAA1; （3）AA1ACCB

解：（1）CBBA1CA1

（2）ACCBAA1AB1

（3）AA1ACCBBA1

1．空间向量的概念：

五．小结

2．空间向量的加减运算

课本P97习题3.1，A组

第1题（1）、（2）

反思归纳

巩固知识，注意区别加减法的不同处. 六．作业

练习与测试：

（基础题）

1．举出一些实例，表示三个不在同一平面的向量。

2．说明数字0与空间向量0的区别与联系。

答：空间向量0有方向，而数字0没有方向；空间向量0的长度为0。

3．三个向量a,b,c互相平行，标出a+b+c. ‘解：分同向与反向讨论（略）。

4．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是BB1的中点，

化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：

（1）CBBA1; （2）ACCB1AA1; 2（3）AA1ACCB

解：（1）CBBA1CA1

（2）ACCB1AA1AM

2（3）AA1ACCBBA1

（中等题）

5．如图，在长方体OADBCA/D/B/中，点E,F分别是DB,D/B/OA3i,OB4j,OC2k,，的中点，试用向量i,j,k表示OE和OF

解：OE3i4j

23OFi4j2k。

2

6．在上题图中，试用向量i,j,k表示EF和FE

解：EF=OFOE=2k，

FE=--EF=--2k