1.1.3 四种命题间的相互关系第二课时教学设计

1.1.3四种命题间的相互关系

学习目标

1、进一步理解命题的概念，了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，

2、会分析四种命题的相互关系

学习重难点

1、学习重点：四种命题的概念及相互关系. 2、学习难点：四种命题的相互关系. 问题导学

观察下面四个命题：

(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．

(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．

(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．

(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．

你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？

一般地，四种命题的关系如下图：

上面考察了四种命题之间的相互关系，它们的真假性是否也有一定的相互关系呢？

一般地，这四种命题的真假性有且只有下面几种情况：

原命题

真

假

例题解析

例1 证明：若x2+y2=0，则x=y=0.

当堂检测

一、选择题

1．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是(

) A．若q不正确，则p不正确

B．若q不正确，则p正确

C．若p正确，则q不正确

D．若p正确，则q正确

2．下列说法中正确的是(

) A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真

B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价

C．“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”

D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真

3．与命题“能被6整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是(

) A．能被2整除的整数，一定能被6整除

B．不能被6整除的整数，一定不能被2整除

C．不能被6整除的整数，不一定能被2整除

D．不能被2整除的整数，一定不能被6整除

4．命题：“若a2＋b2＝0 (a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是(

) A．若a≠b≠0 (a，b∈R)，则a2＋b2≠0

逆命题

真

否命题

真

逆否命题

真

假

B．若a＝b≠0 (a，b∈R)，则a2＋b2≠0

C．若a≠0，且b≠0 (a，b∈R)，则a2＋b2≠0

D．若a≠0，或b≠0 (a，b∈R)，则a2＋b2≠0

5．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是(

) A．都真

B．都假

C．否命题真

D．逆否命题真

6．设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β.那么(

) A．①是真命题，②是假命题

B．①是假命题，②是真命题

C．①②都是真命题

D．①②都是假命题

题

号

答

案

二、填空题

7．“已知a∈U(U为全集)，若a∉∁UA，则a∈A”的逆命题是1

2

3

4

5

6

________________________________________，它是______命题．(填“真”“假”)

8．“若x≠1，则x2－1≠0”的逆否命题为________命题．(填“真”、“假”)

119．下列命题：①“若k>0，则方程x2＋2x＋k＝0有实根”的否命题；②“若>，则a

三、解答题

10．已知命题：若m>2，则方程x2＋2x＋3m＝0无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．

11．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.

12．若a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数．

参考答案

问题导学

观察下面四个命题：

我们发现，命题（2）（3）是互为逆否命题，命题（2）（4）互否命题，命题（3）（4）是互逆命题. 以“思考”中命题（1）~（4）为例，并设命题（1）是原命题，容易判断，原命题（1）是真命题，它得逆命题（2）是假命题，它的否命题（3）也是假命题，而它的逆否命题（4）是真命题.

原命题

真

真

假

假

例题解析

证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则x2＞0，所以x2+y2 ＞0，

也就是说x2+y2 ≠0.

因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题. 当堂检测

1．D

【解析】原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，只需写出原命题的否命题即可．

2．D

3.

D 4．D

【解析】a＝b＝0的否定为a，b至少有一个不为0. 5．D

【解析】原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题．

6．D 7．已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a∉∁UA

真

【解析】“已知a∈U(U为全集)”是大前提，条件是“a∉∁UA”，结论是“a∈A”，所以原命题的逆命题为“已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a∉∁UA”．它为真命题．

逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

8．假

9.①②

10．解

逆命题：若方程x2＋2x＋3m＝0无实根，则m>2，假命题．否命题：若m≤2，则方程x2＋2x＋3m＝0有实根，假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋3m＝0有实根，则m≤2，真命题．

11．证明

假设a＋b<0，即a<－b，∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)

又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，

∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0. 即原命题的逆否命题为真，故原命题为真．

∴a＋b≥0.

12．证明

若a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数．

得a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2，

即原命题的逆否命题为真，故原命题也为真命题．

所以a，b，c不可能都是奇数．