1.1.1 命题ppt课件教学实录

1．1.1 命

题

课前自主学习

预习课本P2～4，思考并完成以下问题

1．命题、真命题、假命题的概念分别是什么？

2．在命题“若p，则q”的形式中，p、q分别叫做命题的什么？

新知初探

定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真命题分类：的语句.假命题：判断为假的语句.

形式：“若p，则q”.其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.[点睛] (1)判断一个语句是命题的两个要素：

①是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；

②可以判断真假．

(2)命题的形式：

①有的命题有明确的条件p和结论q，而有的命题不明显．

②确定命题的条件和结论时，最好把命题写成“若p，则q”的形式．

小试牛刀

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“集合{a，b，c}有3个子集”是命题(

) (2)“x2－3x＋2＝0”是命题(

) 答案：(1)√

(2)×

2．语句“若a>b，则a＋c>b＋c”(

) A．不是命题

B．是真命题

C．是假命题

D．不能判断真假

答案：B 3．下列语句中，是假命题的是(

) A．一条直线有且只有一条垂线

1

B．不相等的两个角一定不是对顶角

C．直角的补角必是直角

D．两直线平行，同旁内角互补

答案：A 4．把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为________________________．

答案：若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除

学以致用

【命题的概念】

[典例] 判断下列语句是否是命题，并说明理由．

π(1)是有理数；

3(2)3x≤5；

(3)梯形是不是平面图形呢？

(4)一个数的算术平方根一定是负数．

π[解] (1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．

3(2)因为无法判断“3x≤5”的真假，所以它不是命题．

(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．

(4)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．

方法归纳

判断语句是否是命题的策略

(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．

(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题． [活学活用]

判断下列语句是否为命题，并说明理由．

(1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形；

(2)任何集合都是它自己的子集；

(3)对顶角相等吗？

(4)x>3. 解：(1)是陈述句，能判断真假，是命题．

(2)是陈述句，能判断真假，是命题．

(3)不是陈述句，不是命题．

22

2

(4)是陈述句，但不能判断真假，不是命题. 【判断命题的真假】

[典例] 判断下列命题的真假，并说明理由．

(1)正方形既是矩形又是菱形；

(2)当x＝4时，2x＋1<0；

(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；

(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．

[解] (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．

(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0. (3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0. (4)是假命题，因为当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列．

方法归纳

命题真假的判定方法

(1)真命题的判断方法

要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．

(2)假命题的判断方法

通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．

[活学活用] 1．下列命题中，为假命题的是(

) A．若a>0，则2>1 B．若x＋y＝0，则x＝y＝0 C．若b＝ac，则a，b，c成等比数列

D．若sin α＝sin β，则不一定有α＝β

解析：选C A选项，若a>0，则2>1，正确；B选项，若x＋y＝0，可得x＝y＝0，正确；C选项，若b＝ac，可知b＝a＝c＝0也成立，显然不是等比数列．故选C. 2．判断下列语句是否为命题，并判断命题的真假．

(1)一个正整数不是素数就是合数；

(2)若x＋y和xy都是有理数，则x，y都是有理数；

(3)60x＋9>4；

(4)若x∈N，则x＋4x＋7>0. 解：(1)该语句是命题．由于整数1既不是素数，也不是合数，所以它是假命题．

(2)该语句是命题.3＋(－3)和3·(－3)都是有理数，但

3，－3都是无理数，所以它是假命题．

3 222aa

(3)这种含有未知数的语句中，不等式是否恒成立无法确定，即不能判断其真假，所以它不是命题．

(4)因为当x∈N时，x＋4x＋7>0恒成立，所以该语句是命题，且是真命题．

【命题的结构形式】

[典例] 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)6是12和18的公约数；

(2)当a>－1时，方程ax＋2x－1＝0有两个不等实根；

(3)平行四边形的对角线互相平分；

(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2. [解] (1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．

(2)若a>－1，则方程ax＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．

(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题．

(4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．

方法归纳

将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则

222

[注意] 命题改写中的注意点

若命题不是以“若p，则q”这种形式给出时，首先要确定这个命题的条件p和结论q，进而改写成“若p，则q”的形式．

[活学活用] 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)奇数不能被2整除；

(2)当(a－1)＋(b－1)＝0时，a＝b＝1；

(3)两个相似三角形是全等三角形；

(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．

解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题．

(2)若(a－1)＋(b－1)＝0，则a＝b＝1，是真命题．

(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．

(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题．

4 2222

作业设计

层级一

学业水平达标

1．下列语句不是命题的有(

) ①若a>b，b>c，则a>c；②x>2；③3<4；④函数y＝a(a>0，且a≠1)在R上是增函数．

A．0个

C．2个

B．1个

D．3个

x解析：选C ①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②④不能判断真假，不是命题．

2．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为(

) ①M中的元素都不是P的元素；

②M中有不属于P的元素；

③M中有属于P的元素；

④M中的元素不都是P的元素．

A．1 C．3 B．2 D．4 解析：选B ①③错误；②④正确．

3．给出命题“方程x＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是(

) A．4 C．0 B．2 D．－3 22解析：选C 方程无实根时，应满足Δ＝a－4<0.故a＝0时适合条件．

4．下列命题中，为真命题的是(

) A．对角线相等的四边形是矩形

B．若一个球的半径变为原来的2倍，则其体积变为原来的8倍

C．若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等

D．直线x＋y＋1＝0与圆x＋y＝1相切

解析：选B 等腰梯形对角形相等，不是矩形，故A中命题是假命题；由球的体积公式可知B中命题为真命题；C中命题为假命题，如“3,3,3”和“2,3,4”的平均数相等，但标准差显然不相等；圆x＋y＝1的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝圆相交，所以D中命题为假命题．

5．给出下列命题：

①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；

②若a，b都是正实数，则a＋b≥2ab；

5 22222<1，故直线与2

③若x>x，则x>1；

④函数y＝x是指数函数．

其中假命题的个数为(

) A．1 C．3 B．2 D．4 32解析：选C ①中，显然l∥m或l与m重合，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x>x，得x<0或x>1，所以③是假命题；④中，函数y＝x是幂函数，不是指数函数，所以④是假命题．故选C. 6．下列语句中是命题的有________(填序号)，其中是真命题的有________(填序号)．

①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？

②一个数不是正数就是负数；

③大角所对的边大于小角所对的边；

④△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；

⑤求证方程x＋x＋1＝0无实根．

解析：①疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；

②是假命题，0既不是正数也不是负数；

③是假命题，没有考虑在同一个三角形内；

④是真命题；

⑤祈使句，不是命题．

答案：②③④

④

7．给出下列命题：

①22 340能被3或5整除；

②不存在x∈R，使得x＋x＋1<0；

③对任意的实数x，均有x＋1>x；

④方程x－2x＋3＝0有两个不等的实根．

其中假命题有________．(填序号) 解析：易知①②③为真命题；④中Δ＝4－12<0，

方程x－2x＋3＝0无实根，因而④为假命题．

答案：④

8．若命题“ax－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．

解析：∵ax－2ax－3>0不成立，∴ax－2ax－3≤0恒成立．当a＝0时，－3≤0恒成立；

a<0，当a≠0时，则有2Δ＝4a＋12a≤0，222222223

解得－3≤a<0.

6

综上，－3≤a≤0.

答案：[－3,0] 9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

12(1)当m>时，mx－x＋1＝0无实根；

4(2)奇函数的图象关于原点对称；

(3)与同一直线平行的两个平面平行；

(4)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除．

12解：(1)原命题可以改写成：若m>，则mx－x＋1＝0无实根．

4因为Δ＝1－4m<0，所以是真命题．

(2)原命题可以改写成：“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．

(3)原命题可以改写成：“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．

(4)原命题可以改写成：若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除．这个命题是真命题．

10．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B

“若p，则q”为真命题．

1＋a解：若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>，则x>1”．由命题为真命题可51＋a知≥1，解得a≥4；

51＋a1＋a若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”．由命题为真命题可知55≤1，解得a≤4.

故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若构造的命题x>1，则x>”．

层级二

应试能力达标

1．下列命题为真命题的是(

) 11A．若＝，则x＝y

25xy

B．若x＝1，则x＝1 D．若x

2222C．若x＝y，则x＝y

解析：选A 很明显A正确；B中，由x＝1，得x＝±1，所以B是假命题；C中，当x＝y<0时，结论不成立，所以C是假命题；D中，当x＝－1，y＝1时，结论不成立，所以D

7

是假命题．故选A. 2．设l1，l2表示两条直线，α表示平面，若有：①l1⊥l2，②l1⊥α，③l2⊂α，则以其中两个为条件，另一个为结论，可以构造的所有命题中，真命题的个数是(

) A．0 C．2 B．1 D．3 解析：选B 由l1⊥α，l2⊂α，得l1⊥l2；由l1⊥l2，l2⊂α推不出l1⊥α；由l1⊥l2，l1⊥α，推不出l2⊂α，也可能l2∥α.故真命题有1个．

3．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是(

) A．红豆生南国

C．愿君多采撷

B．春来发几枝

D．此物最相思

解析：选A “红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A. 4．下面的命题中是真命题的是(

) A．y＝sinx的最小正周期为2π

B．若方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则>0 C．如果M⊆N，那么M∪N＝M

―→―→D．在△ABC中，若AB·BC>0，则B为锐角

1－cos 2x2π2解析：选B y＝sinx＝，T＝＝π，故A为假命题；当M⊆N时，M∪N＝N，22―→―→―→―→故C为假命题；在三角形ABC中，当AB·BC>0时，向量AB与BC的夹角为锐角，B应为钝角，故D为假命题．故选B. 5．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”条件p：________，结论q：________________________________.它是______命题(填“真”或“假”)．

解析：a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得

－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域(包括边界)，∴命题为真命题．

答案：a>0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真

6．函数f(x)的定义域为A，若当x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时，总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2(x∈R)是单函数；③在定义域上具有单调性的函数一定是单函

8 x222ca

数．其中的真命题是________．(填序号) 解析：由x1＝x2，未必有x1＝x2，故①为假命题；对于f(x)＝2，当f(x1)＝f(x2)时一定有x1＝x2，故②为真命题；当函数在其定义域上单调时，一定有“若f(x1)＝f(x2)，则x1＝x2”，故③为真命题．故真命题是②③. 答案：②③

7．已知p：x－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)是减函数．若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．

解：若命题p为真命题，由x－2x＋2＝(x－1)＋1≥m，可知m≤1；

若命题q为真命题，则7－3m>1，即m<2. 命题p和q中有且只有一个是真命题，则p真q假或p假q真，

即m≤1，m≥222222xx

2或m>1，m<2，

2所以1

层次三 能力突破题

8．试探究命题“方程ax＋bx＋1＝0有实数解”为真命题时，a，b满足的条件．

解：方程ax＋bx＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：

12当a＝0时，方程ax＋bx＋1＝0为bx＋1＝0，只有当b≠0时，方程有实数解x＝－；

b当a≠0时，方程ax＋bx＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b－4a≥0.

综上知，当a＝0，b≠0或a≠0，b－4a≥0时，方程ax＋bx＋1＝0有实数解．

2222

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