1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）优质课教案

1.3

空间几何体的表面积与体积

1.3.1

柱体、锥体、台体的表面积与体积

1．通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积与体积的求法．(重点) 2．会求组合体的表面积与体积．(难点、易错点)

[基础·初探]

教材整理1

柱体、锥体、台体的表面积

阅读教材P23～P25“例2”以上内容，完成下列问题．

1．多面体的表面积

多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积．

2．旋转体的表面积

名称

图形

公式

底面积：S底＝2πr2

圆柱

侧面积：S侧＝2πrl

表面积：S＝2πrl＋2πr2

底面积：S底＝πr2

圆锥

侧面积：S侧＝πrl

表面积：S＝πrl＋πr2

1

上底面面积：S上底＝πr′2

圆台

下底面面积：S下底＝πr2

侧面积：S侧＝πl(r＋r′) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．(

) (2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．(

) (3)圆台的高就是相应母线的长．(

) (4)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等．(

) 【解析】

(1)正确．多面体的表面积等于侧面积与底面积之和．

(2)错误．棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，不一定是等腰梯形．

(3)错误．圆台的高是指两个底面之间的距离．

(4)错误．由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不相同．但是，不论怎么剪，同一个多面体表面展开图的面积是一样的．

【答案】

(1)√

(2)×

(3)×

(4)×

教材整理2

柱体、锥体与台体的体积公式

阅读教材P25“例2”以下～P26“思考”以上内容，完成下列问题．

(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh. 1(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝3Sh. 1(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝3(S′＋S′S＋S)h.

圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为(

) A．15π

C．12π

B．30 D．36π

1【解析】

圆锥的高h＝52－32＝4，故V＝3π×32×4＝12π.

【答案】

C

2

[小组合作型]

空间几何体的表面积和侧面积

一个直角梯形的两底边长分别为2和5，高为4.将其绕较长底所在直线旋转一周，求所得旋转体的表面积．

【精彩点拨】

旋转所得到的几何体为圆柱与圆锥的组合体．

【自主解答】

旋转所得几何体如图．

由图可知，几何体的表面积为一圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面圆的面积之和，

∴S＝S圆柱底＋S圆柱侧＋S圆锥侧

＝π×42＋2π×4×2＋π×4×5 ＝16π＋16π＋20π＝52π.

1．求几何体的表面积时，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台体，再通过这些基本柱、锥、台体的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．

2．组合体的表面积是组成它的简单几何体的表面积之和减去公共部分面积．

[再练一题]

1．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为(

) A．81π

B．100π

3

C．168π

D．169π

C

[圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝h2＋R－r2＝4r2＋3r2＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.

故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，

S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.]

空间几何体的体积

3-1所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，用截面截下一

如图1-A′DD′，求棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．

个棱锥C-

图1-3-1 【精彩点拨】

先求出棱锥的体积，再求得剩余部分的体积，最后求得体积之比．

【自主解答】

法一：设AB＝a，AD＝b，DD′＝c，

则长方体ABCD-A′B′C′D′的体积V＝abc，

1又S△A′DD′＝2bc，

且三棱锥C-A′DD′的高为CD＝a. 11∴V三棱锥C-＝S·CD＝A′DD′3△A′D′D6abc. 15则剩余部分的几何体体积V剩＝abc－6abc＝6abc. 15故V棱锥C-A′DD′∶V剩＝abc∶abc＝1∶5. 66法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′-BCC′B′，设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh. 1而棱锥C-A′DD′的底面面积为2S，高为h，

4

111因此棱锥C-A′DD′的体积VC-A′DD′＝×Sh＝Sh. 32615剩余部分的体积是Sh－6Sh＝6Sh. 所以棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为

15Sh∶66Sh＝1∶5.

1．常见的求几何体体积的方法

(1)公式法：直接代入公式求解．

(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．

(3)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．

2．求几何体体积时需注意的问题

柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．

[再练一题]2．如图1-3-2所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．

图1-3-2 (1)求剩余部分的体积；

(2)求三棱锥A-A1BD的高.

1【解】

(1)V三棱锥A1-＝A1A

ABD3S△ABD·111＝3×2·AB·AD·A1A＝6a3. 故剩余部分的体积

5

V＝V正方体－V三棱锥A15＝a3－6a3＝6a3. 1-ABD

13(2)由(1)知V三棱锥A-ABD＝V三棱锥A1-ABD＝a，

61设三棱锥A-A1BD的高为h，

则V三棱锥A-A1＝S△ABD·h

BD3·111133＝3×2×2(2a)2h＝6a2h，

313故6a2h＝6a3，解得h＝3a. [探究共研型]

与三视图有关的表面积和体积

探究1

一个几何体的三视图如图1-3-3所示，请说出该几何体的结构特征．

图1-3-3 【提示】

由所给三视图可知该几何体为一个三棱柱，且底面为直角三角形．

探究2

试根据图1-3-3中数据求该几何体的表面积．

【提示】

三棱柱底面三角形的直角边长分别为3和4，斜边长为5，三棱1柱的高为5，如图所示，所以表面积为22×3×4＋(3＋4＋5)×5＝72. 

6

探究3

已知几何体的三视图，如何求几何体的表面积？

【提示】

首先根据三视图确定几何体的结构特征，再根据相应的表面积公式计算．

3-4，已知某几何体的三视图如图(单位：cm)．

如图1-(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；

(2)求这个几何体的表面积及体积．

图1-3-4 【精彩点拨】

由三视图确定→选择表面积及体积公式求解

几何体的形状

【自主解答】

(1)这个几何体的直观图如图所示．

(2)这个几何体可看成是正方体AC1及三棱柱B1C1Q-A1D1P的组合体．

由PA1＝PD1＝2，A1D1＝AD＝2，

可得PA1⊥PD1. 故所求几何体的表面积

7

1S＝5×2＋2×2×2×2＋2×2×2＝22＋42(cm2)，

2所求几何体的体积

1V＝23＋2×(2)2×2＝10(cm3)．

1．解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据．

2．若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，根据需要先将几何体分割分别求解，最后求和．

[再练一题]

3.如图1-3-5是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(

)

图1-3-5 A．20π

B．24π

C．28π

D．32π

C

[由三视图可知圆柱的底面直径为4，母线长(高)为4，所以圆柱的侧面积为2π×2×4＝16π，底面积为π·22＝4π；圆锥的底面直径为4，高为23，所以圆锥的母线长为232＋22＝4，所以圆锥的侧面积为π×2×4＝8π.所以该几何体的表面积为S＝16π＋4π＋8π＝28π.]

8

1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4 cm、5 cm，则长方体的体积为(

) A．27 cm3

C．64 cm3

B．60 cm3

D．125 cm3

B

[长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为3×4×5＝60 cm3.]

2．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是(

) A．4π

C．2π

B．3π

D．π

【解析】

旋转所得几何体为圆柱，底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C. 【答案】

C 3．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________.

1【解析】

由已知得4π＝3πr2×4，解得r＝3. 【答案】

3

4．一个几何体的三视图如图1-3-6所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.

图1-3-6 【解析】

此几何体是由一个长为3，宽为2，高为1的长方体与底面直径1为2，高为3的圆锥组合而成的，故V＝V长方体＋V圆锥＝3×2×1＋3π×12×3＝(6

9

＋π)m3. 【答案】

6＋π

5．如图1-3-7所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，求三棱锥D1-EDF的体积．

图1-3-7 1111【解】

VD1-EDF＝VF-DD1E＝3S△D1DE·AB＝3×2×1×1×1＝6.

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