3.3.1 两条直线的交点坐标评课稿

§32.3.1两直线的交点坐标

一、教学目标：

（一）

知识目标：1.两直线的交点与方程组的解之间的关系。

2.经过两条相交直线的交点的直线系。

（二）能力目标：

（1）能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。

（2）了解两直线的交点坐标是它们的方程组成的方程组的解。

（3）会用方程组解的个数判定两直线的位置关系。

（三）情感目标：1．通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内的联系。

2．能够用辩证的观点看问题。

3．通过探究过定点直线系的方程，培养运用转化思想。

二、教学方法：

（一）学法：通过沟通方程组的解的情况与相应两条直线的交点个数（位置关系）情况，进一步渗透数形结合、坐标法思想。通过学生动手画图，了解过定点的直线系方程。

（二）教法：讲练结合

三、教学媒体：

（一）传统媒体：

（二）现代媒体：

四、教学目的：

1、重点：根据两直线方程求交点及判定两直线的位置关系。

2、难点：理解两直线交点与方程组的解之间的关系。

五、教学过程与设计：

（一）课堂导入：

在平面几何中，我们只能对直线作定性的研究。引入平面直角坐标系后，我们用方程表示直线，直线的方程就是直线上每一个点的坐标满足的一个关系式，即二元一次方程。这样，我们可以通过方程把握直线上的点，用代数方法研究直线上的点，对直线进行定量研究。

上一节，我们在平面直角坐标系中建立了直线的方程。这一节，我们将通过直线方程，用代数方法解决直线的有关问题，包括求两直线的交点。判定两直线的位置关系。

（二）

讲授新课：

问题1：求下列两条直线的交点的坐标

l1:3x4y20

l2:2x+y+2=0解：解方程组

3x+4y-2=0x=-2 得

2x+y+2=0y=2l1和l2的交点是M(-2,2)

思考：已知两条直线

1

l1:A1xB1yC10相交，如何求出这两条直线的交点的坐标？

l2:A2xB2yC20一．两直线的交点坐标

设两条直线

l1:A1xBy1l2:A2xBy21c0(A0）1不同时为,B12c0(A不同时为B）02,2

1.

基本知识——点与坐标的一一对应关系。

填表

几何元素及关系

点A 直线l

点A在直线l上

直线l1和l2的交点是A 代数表示

A（a,b）

l：AxByC0

AaBbC0

点A的坐标是方程组

A1xB1yC10的解

A2xB2yC20例题1.判断直线l1:3x4y20与直线l2:2xy20

的位置关系，如果相交，求出交点坐标。

解：解方程组

∴直线l1与l2相交，交点坐标是M(-2，2)．

总结：可以利用两直线方程组成的方程组解的个数来判断两直线的位置关系。

练习1：判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标。

（1）L1：x-y=0 L2: 3x+3y-10=0 （2）L1：3x-y+4=0 L2: 6x-2y=0 （3）L1：3x+4y-5=0 L2: 6x+8y-10=0 解：（1）解方程组

2

5xxy03 得

3x3y100y5355l1和l2相交，交点是M（，）

33（2）解方程组

3xy406x2y10（1） （2）①*2-②得 9=0 矛盾

方程组无解，即l1和l2无公共点，l1l2

（3）解方程组

3x4y506x8y100（1）

（2）①*2得

6x8y100

因此①和②可以化为同一个方程。即l1和l2重合

小结：

（二）方程组的解与两直线的位置关系

求两条直线的交点的坐标，就是将这两条直线的方程联立，得方程组

A1xB1yC10A2xB2yC20

1．若方程组无解，则l1//l2 2.若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交

3.若方程组有无数解，则l1与l2重合

注两条直线间“形”的关系，可以化归为方程组的解即“数”的关系来研究，即以“数”解“形”，这就是解析几何的优越之处。同时，应注意以“形”助“数”。

思考：

已知两条直线：l1:xmy60 l2:(m2)x3y2m0

将两直线的方程组成方程组

讨论该方程组解的情况？

(三)经过两条直线交点的直线系

3

例题3求证：直线l:(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0 （*）

直线l1:A1xB1yC10和l2:A2xB2yC20

的交点（A1、B1和A2、B2不同时为零）

证明：设l1,l2的交点为p(x0,y0),则有

A1x0B1y0C10 A2x0B2y0C20

把p(x0,y0)的坐标代入（*）方程左边得

（A1x0+B1y0+C1）+（A2x0+B2y0+C2）=0+0=0

P点的坐标满足l的方程。

即直线l经过l1和l2的交点。

例题4.求证：无论m取何实数，直线（2m-1）x-(m+3)y-(m-11)=0 恒过定点，并求出此定点的坐标。

证明：将已知直线化为2mx-x-my-3y-m+11=0 即(-x-3y+11)+m(2x-y-1)=0 它表示过两直线 x+3y-11=0和2x-y-1=0的交点的直线系。

解方程组-x-3y+11=0x2 得

2x-y-1=0y3 原直线恒过定点（2，3）

例题5求经过点（2，3），且经过以下两条直线的交点的直线方程。

l1:x+3y-4=0 l2:5x+2y+6=0

解：法（一）：解方程组

x+3y-4=0 x2 得

5x+2y+6=0y2 l1和l2的交点是（-2，2）

由两点式得所求直线的方程 即x4y100

y3x2

2322法（二）x3y4(5x2y6)0

点(2,3)在直线上

4

（52+23+6）=0

2+33-4+ 7

227(5x2y6)0

22 所求的直线的方程为x3y4 即x4y100

反思：求两条直线的交点就是解方程组，如果方程组有一解，两条直线相交；有无数解，两条直线重合；无解，两条直线平行。

法二中的方程x3y4(5x2y6)0，无论取什么值，它表示的直线都过

x+3y-4=0和5x+2y+6=0的交点。

探究：当变化时，方程xy(xy2)0

表示什么图形？图形有什么特点？

设置问题：1、观察这个方程有什么特点，把它整理一下，会发现什么？

(1)x(1)y20 是一个二元一次方程。

2、那二元一次方程表示什么图形呢？

一条直线

3、我们接下来要来研究它的图形有什么特点。

取0,1,1.去试试看

如下图，三条直线相交于一点（1，1）

y 1 （1，1）

0 1 x

4、我们把（1，1）点代入原方程，会有什么结果呢？

xy0,xy20. 000

不管怎么变，点（1，1）都在直线上。

5

即方程xy(xy2)0经过定点（1，1）

5、这个点（1，1）有什么特殊吗？

两条直线xy0,xy20.的交点。

6、那我们能得到什么结论呢？

方程xy(xy2)0是表示经过直线

l1:xy0和l2:xy20的交点的直线系。

注意：方程xy(xy2)0不包括l2:xy20。（两条直线重合对应系数成比例）

小结：求两条直线的交点就是解方程组，如果方程组有一解，两条直线相交；有无数解，两条直线重合；无解，两条直线平行。

法二中的方程x3y4(5x2y6)0，无论取什么值，它表示的直线都过

x+3y-4=0和5x+2y+6=0的交点。

课后练习

（1）

已知直线l1:x2y30,l2:2x3y80,求经过l1,l2的交点且与已知直线3x4y20平行的直线l的方程。

（2）

求经过两条直线2x3y10和x3y40的交点，并且垂直于直线3x4y70的直线的方程。

（3）

课时训练

（三）

课堂小结

本节课主要学习了（1）两直线的交点与方程组的的解之间的关系。

（2）经过两条相交直线的交点的直线。

（四）课后反思

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