习题4.2ppt配套教案和课堂实录

课题：2.2.2直线与圆的位置关系导学案

班级： 姓名： 第 学习小组 编辑教师：

皇甫素芳 【学习目标】

1.理解直线与圆的位置的种类

2.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离．

3.能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小判断直线和圆的位置关系；

【重点】直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.【难点】用坐标法判定直线与圆的位置关系.【课前预习】

问题1．直线和圆的位置关系有几种情况？直线和圆的位置关系是用什么方法研究的？

（复习引入让学生之间进行讨论、交流，引导学生观察图形，导入新课.

启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课. 总结直线与圆的位置关系的种类，进一步深化“数形结合”的数学思想.）答：直线与圆有相离、相切、相交3种位置关系。

可以用几何法（利用图像）和代数法（利用数量）研究直线与圆的位置关系

问题2．我们在解析几何中已经学习了直线的方程和圆的方程分别为AxByC0，x2y2DxEyF0(D2E24F0)，怎样根据方程判断直线和圆的位置关系呢？

（抽象判断直线与圆的位置关系的思路与方法，培养抽象概括能力）

D2E24FDEDE答：几何法：根据圆的方程写出圆心,和半径r，求出圆心,到22222DEABC22已知直线AxByC0的距离d，通过比较d与r的大小关系来判断22AB直线与圆的位置关系。

AxByC0代数法：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组2，消去x或（y），2xyDxEyF0化为一元二次方程，判断方程组解的个数，由判别式符号来判断直线与圆的位置关系

AxByC01．方程组2的解有几种情况？我们通常有如下结论：

222xyDxEyF0(DE4F0)相离

相切

相交

dr

方程组__无实数__解

r d dr

方程组有__唯一实数__解

dr

方程组有_两个不同实数_解

d r 【课堂研讨】

题型一

直线与圆的位置关系的判定

例1、求直线4x3y50和圆xy100的公共点坐标，并判断它们的位置关系．

解：法一：

22

4x3y50x8

联立方程组2，公共点坐标8,6，两直线相切

2xy100y650法二：圆心0,0到直线4x3y50的距离d10r，因此相切

2234学生交流自己总结的步骤。总结一下判断直线与圆的位置关系的步骤，展示解答过程；启发学生概括判断直线与圆的位置关系的基本步骤，给学生留有总结思考的时间．

判断直线与圆的位置关系有两种方法，但利用圆心到直线的距离与半径的关系来判断在计算上更简洁。判断直线与圆的位置关系常用几何法，其一般步骤分别为：

①把圆的方程化为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径r. ②利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d. ③判断：当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交. 练习1：已知直线l:3xy60和圆心为C的圆x2y22y40,判断直线l与圆的位置关系;如果相交,求它们交点的坐标.

3xy602l解法一:由直线与圆的方程,得2消去y,得x3x20，

2xy2y400,直线l与圆相交,有两个公共点. 解法二:圆x2y22y40可化为x2(y1)25, 其圆心C的坐标为0,1,半径长为5, 点C0,1到直线l的距离d163212105r

2所以,直线l与圆相交,有两个公共点. 由x3x20,解得x12,x21。把x12代入方程①,得y10;把x21代入方程①,得y23

所以,直线l与圆有两个交点,它们的坐标分别是A2,0,B1,3。

思考若上题求弦长可怎样求解。

22变式1：已知圆的方程是xy2，直线yxb，当b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？

2解：

x2y22法一判断直线与圆位置关系问题可转化为b为何值时，方程组yxb①②2

2有两组不同实数解；有两组相同实数解；无实数解的问题．把②代入①整理得2x2bxb20③

方程③的根的判别式(2b)42(b2)4(b2)(b2)．

当－2＜b＜2时，Δ＞0，方程组有两组不同实数解，因此直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；

当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，方程组有两相同的实数解，直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；

当b＜－2或b＞2时，Δ＜0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点，直线与圆相离．

解答本题可转化成求一元二次方程根的个数，或利用数形结合转化成求直线截距的范围．

|b|法二

圆心O(0,0)到yxb的距离d＝，半径r＝2. 222

①当d＜r，即－2＜b＜2时，直线与圆相交；

②当d＝r，即b＝2或b＝－2时，直线与圆相切；

③当d＞r，即b＞2或b＜－2时，直线与圆相离．

规律方法

已知直线和圆的位置关系，求直线中参数的取值范围时，可利用代数法也可利用几何法，而数形结合(几何法)往往会使运算更简单。使学生熟悉判断直线与圆的位置关系的基本步骤

例2、自点A(1，4)作圆(x2)2(y3)21的切线l，求切线l的方程．

解:设切线l方程为y4k(x1)，圆心2,3到直线l的距．

y

A(1,4)

3r1整理得：k0或k，由点斜式41k2方程得切线方程为：y4或3x4y130

离d3k1o

x

进一步深化“数形结合”的数学思想．启发学生利用“数形结合”的数学思想解决问题．

圆的切线的求法(1)求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关1系，切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或k不存在，则由图形可直接得切线k方程为y＝b或x＝a. (2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：

①几何方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出．

②代数方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，进而求出切线方程．

③过圆外一点的切线必有两条，当几何法或代数法求得的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出

互相讨论、交流，完成练习题.

，4)作圆(x2)2(y3)21的切线l，求切线l的方程．

变式：（1）自点A(1，4)作圆(x2)2(y3)210的切线l，求切线l的方程．

（2）自点A(1解：（1）设切线l方程为y4k(x1)，圆心2,3到直线l的距离dk11k2r1，整理得：

k0，切线方程为：y4。又因为(12)2(43)21，点A(1，4)在圆外有2条切线，因此，另一条切线不存在斜率，方程为x1。因,此切线l的方程为y4或x1

（2）设切线l方程为y4k(x1)，圆心2,3到直线l的距离d3k121kk3，切线方程为：y3x7。又因为(12)2(43)210，点A(1，4)在圆上仅有1条切线，因此切线l的方程为：y3x7

过圆外一点向圆引切线，应有两条；过圆上一点作圆的切线，只有一条。

例3、求直线x3y230被圆xy4截得的弦长．

解：圆心0,0到直线x3y230的距离d直线与圆相交时弦长的求法

(1)求出交点坐标，利用两点间距离公式，求出弦长；

22r10，整理得：

23133，弦长2r2d22432

(2)利用弦长公式求：

弦长=1k2x1x2=1+k2x1x224x1x2或=1+1k2y1y224y1y2

其中x1,x2为交点的横坐标，y1,y2为交点的纵坐标，k为已知直线斜率．

(3)设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有＋d＝r，即半弦长，弦心距，半径构成直角三角形，2数形结合，利用勾股定理求解．圆中此种方法计算比较简便。

变式：已知过点M(-3,-3)的直线l被圆x+y+4y-21=0所截得的弦长为45,求直线l的方程. 解：将圆的方程写成标准形式，得x2 + (y2 + 2)2 =25，所以，圆心的坐标是(0，–2)，半径长r =5. 如图，因为直线l

的距离为45，所以弦心距为52(452)5，即圆心到所求直线l的距离为5. 222l222因为直线l

过点M (–3，–3)，所以可设所求直线l的方程为y + 3 = k (x + 3)，即k x

–

y + 3k

–3 = 0. 根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l

的距离d

=|23k3|k12|23k3|k12.因此，5，

1即|3k

– 1| =55k2，两边平方，并整理得到2k2

–3k

–2 = 0，解得k =，或k =2. 21所以，所求直线l

有两条，它们的方程分别为y + 3 =(x + 3)，或y + 3 = 2(x + 3). 2即x +2y = 0，或2x

–

y + 3 = 0

进一步深化“数形结合”的数学思想.明确弦长的运算方法. 【学后反思】回顾、反思、总结形成知识体系

（1）通过直线与圆的位置关系的判断，你学到了什么？

（2）判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？

（3）如何求出直线与圆的相交弦长？切线方程？

作业：

22若直线4x－3y＝a与圆x＋y＝100，(1)相交； (2)相切；(3)相离，分别求实数a的取值范围.

不要被不重要的人或事过多打扰，因为“成功的秘诀就是抓住目标不放”。

课题：2.2.2直线与圆的位置关系检测案

班级： 姓名： 学号： 第 学习小组

【课堂检测】

1．判断下列各组中直线l与圆C的位置关系：

（1）l:xy10，C:x2y24；__________________________；

（2）l:4x3y80，C:x2(y1)21；___________________；

（3）l:xy40，C:x2y22x0．_____________________．

2．若直线axby1与圆x2y21相交，则点P(a，b)与圆的位置关系是

．

3．（1）求过圆x2y24上一点(1，3)的圆的切线方程；

（2）求过原点且与圆(x1)2(y2)21相切的直线的方程．

【课后巩固】

1．直线3x4y20与圆x2y22x0的位置关系是

．

2．直线2x3y10和圆x2y22x30交于点A，B，则弦AB的垂直平分线方程是

．

3．斜率为1的直线l平分圆x2y24x2y0的周长，则l的方程为

3)的直线l被圆xy4y210截得的弦长为45，

4．已知过点M(3，求直线l的方程．

5．已知圆xyx6ym0与直线x2y30相交于P，Q两点，

2222O为坐标原点，若OPOQ，求m的值．

，1)的直线l与圆xy2x6y60相交，求直线l斜率的取值范围．

6．已知过点A(1

222)的圆的方程．

7．求半径为13，且与直线2x3y100切于点P(2，

8．求圆心在y轴上，且与直线l1:4x3y120，直线l2:3x4y120都相切的圆的方程．

9．已知圆C的方程是x2y2r2，求证：经过圆C上一点M(x0，y0)的切线方程是x0xy0yr2．

10．已知圆C:x2y2r2，直线l:axbyr2．

（1）当点P(a，b)在圆C上时，直线l与圆C具有怎样的位置关系？

（2）当点P(a，b)在圆C外时，直线l具有什么特点？