3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学实录及点评

3.2 导数的计算

3.2.1 几个常用函数的导数

3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

1.了解导数公式的推导过程、理解导数的四则运算法则.(重点) 2.掌握几种常见函数的导数公式.(重点) 3.能够运用导数公式和求导法则进行求导运算.(重点)

[基础·初探] 教材整理1 基本初等函数的导数公式

阅读教材P81～P83例1以上部分，完成下列问题. 基本初等函数的导数公式

原函数

f(x)＝c f(x)＝xα(α∈Q*)

f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax

f(x)＝ex

f(x)＝logax f(x)＝ln x 导函数

f′(x)＝0 f′(x)＝α·xα－1

f′(x)＝cos_x

f′(x)＝－sin_x

f′(x)＝axln_a(a>0且a≠1)

f′(x)＝ex

1f′(x)＝xln a(a>0且a≠1) 1f′(x)＝x

1/9

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 1(1)(log3π)′＝πln 3.(

) 1(2)若f(x)＝x，则f′(x)＝ln x.(

) (3)因为(sin x)′＝cos x，所以(sin π)′＝cos π＝－1.(

) 【答案】

(1)×

(2)×

(3)×

教材整理2 导数的运算法则

阅读教材P84例2以上部分，完成下列问题. 导数的运算法则

设两个函数f(x)，g(x)可导，则

和的导数

差的导数

积的导数

[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)

[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x) [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)

fxf′xgx－fxg′x′＝(g(x)≠0) [gx]2gx

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f(x)＝a2＋2ax＋x2，则f′(a)＝2a＋2x.(

) f′x1(2)fx′＝－(f(x)≠0).(

) [fx]2(3)运用法则求导时，不用考虑f′(x)，g′(x)是否存在.(

) 【答案】

(1)×

(2)√

(3)×

商的导数

[小组合作型] 2/9

利用导数公式求函数的导数

(1)已知函数f(x)＝x2在点(x0，y0)处的导数为1，则x0＋y0＝________. (2)求下列函数的导数：

①y＝x20；

1②y＝x4；

③y＝log6x. π④y＝sin 3. 【自主解答】

(1)由题意可知，f′(x0)＝1，

又f′(x)＝2x，所以2x0＝1，

113所以x0＝，y0＝，x0＋y0＝.

2443【答案】

4

(2)①y′＝(x20)′＝20x20－1＝20x19.

②y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5.

1③y′＝(log6x)′＝xln 6.

π④y′＝sin 3′＝0. 

用公式求函数导数的方法

1.若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解.

2.对于不能直接利用公式的类型，关键是将其进行合理转化为可以直接应用1公式的基本函数的模式，如y＝4可以写成y＝x－4，这样就可以直接使用幂函数x的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误.

[再练一题] 3π1.(1)若f(x)＝cos x，则f′－2＝(

) 3/9

3A.0

B.1

C.－1

D.2

【解析】

∵f(x)＝cos x，∴f′(x)＝－sin x.

3π3π故f′－2＝－sin－2＝－1.

【答案】

C (2)求下列函数的导数：

1①y＝5x；②y＝－x5；

③y＝ln 3；④y＝xx3.

【解】

①y′＝(5x)′＝5xln 5.

求下列函数的导数：

1xx(1)y＝x2＋sin 2cos 2；

3(2)y＝xx2－2x－6＋2；

(3)y＝cos xln x；

x(4)y＝ex. xx1【自主解答】

(1)y′＝x2＋sin 2cos 2′

1＝(x－2)′＋2sin x′

1＝－2x－3＋2cos x

21＝－x3＋2cos x.

3(2)y′＝x3－2x2－6x＋2′

4/9 利用导数的运算法则求函数的导数

32＝(x)′－2x′－(6x)′＋(2)′

3＝3x2－3x－6.

(3)y′＝(cos xln x)′

＝(cos x)′ln x＋cos x(ln x)′

cos x＝－sin xln x＋x.

xx′e－xe′(4)y′＝ex′＝

ex2ex－xex1－x＝e2x＝ex.

利用导数运算法则求函数的导数的两个策略

1.解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则.

2.对于比较复杂的函数，若直接套用求导公式，会使求解的过程繁琐冗长，且易出错.故可先对函数的解析式进行合理的恒等变形，转化为容易求导的结构形式再求导数，尽量回避利用积与商的求导公式.

[再练一题] 2.(1)函数f(x)＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数为(

) A.1 C.3 B.2 D.4 xx【解析】

可对函数直接求导，再代入x＝1后求值，f(x)＝(x＋1)2(x－1)＝x3＋x2－x－1.

f′(x)＝3x2＋2x－1，f′(1)＝3＋2－1＝4.

【答案】

D (2)求下列函数的导数：

211①y＝xx＋x＋x3；

sin x－cos x②y＝2cos x；

5/9

x2＋1③y＝. x111【解】

①∵y＝xx2＋x＋x3＝x3＋1＋x2＝x3＋x－2＋1，

2∴y′＝3x－2x＝3x－x3.

2－32sin x－cos x1sin x②∵y＝2cos x＝2cos x－1，

221sin xcosx＋sinx1∴y′＝2cos x′＝2cos2x＝2cos2x.

. [探究共研型]

导数的综合应用

探究

利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义，可以解决哪些问题？

【提示】

利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算. x2

已知函数f(x)＝a－1(a≥0)的图象在x＝1处的切线为l，求l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值.

【精彩点拨】

求f′x―→求fx在x＝1处的切线方程―→求切线在两轴上的截距―→建立面积S关于a的函数关系式―→求面积的最值

2x2【自主解答】

∵f′(x)＝a，∴f′(1)＝a.

1又∵f(1)＝a－1，

6/9

12∴f(x)在x＝1处的切线l的方程是：y－a＋1＝a(x－1).

∴l与坐标轴围成的三角形的面积为：

1111a＋11－－1a＋＝S＝2a·≥×(2＋2)＝1.

a＋22441当且仅当a＝a，即a＝1时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积最小，最小值为1.

1.本题属于导数综合题，使用了建模的思想，建立面积函数，并应用基本不等式求函数的最值. 2.利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积有关的最值问题.这种题目往往使用函数与方程的思想，而解题的切入点是确定切点，求切线方程.

[再练一题] 3.点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离. 【解】

根据题意，设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，

则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x＝1.

0∵y′＝(ex)′＝ex，

∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1).

2利用点到直线的距离公式得最小距离为2.

1.下列四组函数中导数相等的是(

) A.f(x)＝1与f(x)＝x

B.f(x)＝sin x与f(x)＝－cos x

C.f(x)＝1－cos x与f(x)＝－sin x

D.f(x)＝1－2x2与f(x)＝－2x2＋3 7/9

【解析】

由求导公式及运算法易知，D中f′(x)＝(1－2x2)′＝－4x，与f′(x)＝(－2x2＋3)′＝－4x相等.故选D.

【答案】

D 2.曲线y＝f(x)＝xln x在点x＝1处的切线方程为(

) A.y＝2x＋2 C.y＝x－1 B.y＝2x－2 D.y＝x＋1 【解析】

∵y＝xln x，∴y′＝ln x＋1，故切线斜率为k＝y′|x＝1＝1.又∵切点坐标为(1,0)，∴切线方程为y＝x－1.

【答案】

C 3.已知y＝sin x－cos x，则y′＝________. 【解析】

y′＝(sin x－cos x)′＝(sin x)′－(cos x)′

＝cos x＋sin x.

【答案】

cos x＋sin x

14.直线y＝2x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.

【解析】

设切点为(x0，y0)，

111∵y′＝x，∴2＝x，

01∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝2×2＋b，∴b＝ln 2－1.

【答案】

ln 2－1 5.求下列函数的导数：

(1)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)；

ln x＋2x(2)f(x)＝x2. 【解】

(1)f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′

＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.

xln x2(2)f′(x)＝x2＋x2′

xln x2＝x2′＋x2′

8/9

12x－ln x·2xx·2x·ln 2·x2－2x·2x＝＋

44xx1－2ln xx＋x2ln 2－2x2x＝

x41－2ln x＋xln 2－22x＝. x39/9