3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则PPT专用教学设计内容

新授课:3.2 复数代数形式的四则运算及其几何意义

教学目标

重点:复数代数形式的四则运算法则．

难点:复数四则运算的几何意义. 知识点:1.掌握复数代数形式的四则运算运算法则; 2.理解复数代数形式的四则运算的几何意义. 能力点:培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力．

教育点:通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想. 在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神. 自主探究点：如何运用复数四则运算的几何意义来解决问题. 考试点：会计算复数的和与差;能用复数四则运算的几何意义解决简单问题. 一、

引入新课

复习引入

1.虚数单位i：它的平方等于1,即i21;

2.对于复数zabia,bR：

当且仅当b0时,z是实数a; 当b0时,z为虚数; 当a0且b0时,z为纯虚数; 当且仅当ab0时,z就是实数0. 3.复数集与其它数集之间的关系：N4.复数几何意义：

ZQRC. 复数zabia,bR

复平面内的点Za,b

复数zabia,bR

复平面内的向量OZ=a,b

一一对应

一一对应

我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算. 【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫. 二、探究新知

探究一:复数的加法

1.复数的加法法则

1

我们规定,复数的加法法则如下: 设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)是任意两个复数,那么：

z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i

提出问题：

(1)两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗?

(2)当b=0,d0时,与实数加法法则一致吗?

(3)它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法? 学生明确: (1)仍然是个复数,且是一个确定的复数; (2)一致; (3)实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项．

【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神．

2.复数加法的运算律

实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗? 对任意的z1,z2,z3C,有

z1z2z2z1（交换律）, (z1z2)z3z1(z2z3)（结合律）. 【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力．

3.复数加法的几何意义

复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗? 设OZ1,OZ2分别与复数abi,cdi对应,则有OZ1(a,b),OZ2(c,d),由平面向量的坐标运算有

OZ1OZ2(ac,bd). 这说明两个向量OZ1与OZ2的和就是与复数(ac)+(bd)i对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示：

y

Z2(c,d)

Z

Z1(a,b)

O

x

由图可以看出,以OZ1、OZ2为邻边画平行四边形OZ1ZZ2,其对角线OZ所表示的向量OZ就是复数(ac)+(bd)i对应的向量. 【设计意图】通过向量的知识,让学生体会从数形结合的角度来认识复数的加减法法则,训练学生的形象思维能力,也培养了学生的数形结合思想.另外,当两复数的对应向量共线时,可直接运算;当不共线时,可类比向量加法的平行四边形,也培养了学生的类比思想.

2

探究二:复数的减法

类比复数的加法法则,你能试着推导复数减法法则吗? 1.复数的减法法则

我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足

(cdi)(xyi)abi

的复数xyi叫做复数abi减去cdi的差,记作(abi)(cdi).根据复数相等的定义,有

cxa,dyb, 因此

xac,ybd, 所以

xyi(ac)(bd)i, 即

(abi)(cdi)(ac)(bd)i. 这就是复数的减法法则,所以两个复数的差是一个确定的复数. 【设计意图】复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,渗透了转化的数学思想方法,是学生体会数学思想的素材.让学生自己动手推导减法法则,有利于培养学生的创新能力和互助合作的学习习惯.考查学生的类比思想,提高学生主动发现问题,探究问题的能力．

2.复数减法的几何意义

设OZ1,OZ2分别与复数abi,cdi对应,则这两个复数的差z1—z2与向量OZ1—OZ2（即Z2Z1）对应,这就是复数减法的几何意义.如图所示. y

O

Z1Z2

x

【设计意图】两个复数的差z1—z2（即OZ1—OZ2）与连接两个终点Z1,Z2,且指向被减数的向量对应,这与平面向量的几何解释是一致的;它不仅又一次让我们看到了向量这一工具的功能,也使数和形得到了有机的结合．注意：只有将差向量平移至以原点为起点时,其终点才能对应该复数. 探究三：复数的乘法运算

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，

则它们积为z1•z2＝(a＋bi) (c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i

复数的积仍然为一个复数，复数的乘法与多项式的乘法相似。

复数乘法满足(1)交换律：z1•z2＝z2•z1；

(2)结合律(z1•z2)•z3＝z1•(z2•z3)；

(3)分配律z1 (z2＋z3)＝z1z2＋z1z3

共轭复数

实部相等而虚部互为相反数的两个数。复数z的共轭复数用z表示。

若z＝a＋bi，则z＝a－bi (a，b∈R)

3

zz＝a2＋b2

z+z=2a z-z=2bi

探究四：复数的除法运算(乘法的逆运算)

复数a＋bi除以复数c＋di的商是指

abi满足(c＋di) (x＋yi)＝a＋bi的复数x＋yi，记作

(c＋di≠0) cdiabiacbdbcad根据复数相等的定义：＝2＋i

222cdicdcd利用共轭复数性质：

abi(abi)(cdi)(acbd)(bcad)acbdbcad＝＝＝＋i

cdi(cdi)(cdi)c2d2c2d2c2d2三、理解新知

1.复数的加减法法则: 设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)是任意两个复数,规定：

z1z2(ac)(bd)i; z1z2(ac)(bd)i.

2.复数加、减法的几何意义：

(1)复数的加法按照向量加法的平行四边形法则; (2)复数的减法按照向量减法的三角形法则. 3.几点说明: (1)复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来; (2)复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减; (3)多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减．

(4)复平面内的两点间距离公式:dz1—z2. 其中z1,z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数,d为点Z1和点Z2间的距离. 即两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的两个点之间的距离．

【设计意图】加深对复数加(减)法法则的理解,从不同的角度总结,既学到知识,又学到了数学方法,使知识更加系统化,学生的思维将上升到一个更高的层面,为准确地运用新知,作必要的铺垫.培养学生的归纳概括能力,使学生对所学的知识有一个整体的认识,解决问题时可以信手拈来. 四、运用新知

例1.计算：

(1)(23i)(5i); (2)(12i)(12i); (3)(23i)(52i); (4)(56i)(2i)(34i); 解:(1)(23i)(5i)(25)(31)i32i; (2)(12i)(12i)(11)(22)i0;

4

(3)(23i)(52i)(25)(32)i35i; (4)(56i)(2i)(34i)(523)(614)i11i. 【设计意图】直接运用复数的加、减法运算法则进行,就是将它们的实部、虚部分别相加、减,实数范围的运算律在复数范围内仍然成立.

变式训练: 计算(12i)(23i)(34i)(45)i(19992000i)(20002001i). 解：（解法一）原式(12345619992000)(2345620002001)i

10001000i. （解法二）(12i)(23i)1i; (34i)(45i)1i; …

(19992000i)(20002001i)1i. 将上列1000个式子累加,得

1000(1i)10001000i. 【设计意图】复数的加减法,相当于多项式加减中的合并同类项的过程;如果根据给出复数求和的特征从局部入手,抓住了式子中相邻两项之差是一个常量这一特点,适当地进行组合,从而可简化运算.进一步巩固复数加减运算,并带有一定的规律性. 例2.(1)设OZ1,OZ2分别与复数z153i,z214i对应,计算z1z2,并在复平面内作出OZ1OZ2, (2)设OZ1,OZ2分别与复数z113i,z22i对应,计算z1+z2,并在复平面内作出OZ1OZ2. 解：

yyZ

OZ2Z1Z1Z2xO

图1 图2

x(1)z1z2=(5+3i)(14i)(51)(34)i4i.（如图1所示）; (2)z1+z2(13i)(2i)(12)(31)i34i.（如图2所示）. 【设计意图】由复数的几何意义知,复数z1,z2所对应的的点分别为Z1,Z2.OZ1OZ2就是表示向量Z2Z1,而OZ1OZ2可利用平行四边形法则作出. 变式训练: 已知复数z1a23(a5)i,z2a1(a22a1)i(aR)分别对应向量OZ1,OZ2（O为坐标原点）,若向量Z1Z2对应的复数为纯虚数,求a的值. 答案：a1.

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例3.已知关于x的方程：x2(6i)x9ai0(aR)有实数根b. (1)求实数a,b的值; (2)若复数z满足zabi2z0,求z的最小值．

解：(1)由题意,得b2(6i)b9ai0,即(b26b9)(ab)i0. b26b90由复数相等的定义得, 解得ab3. ab0(2)设zxyi(x,yR), 由zabi2z0,得(x3)(y3)i2z, 即(x3)2(y3)24(xy)2,整理得(x1)2(y1)28, 即复数z在复平面内所对应的点Z(x,y)的轨迹是以C(1,1)为圆心,半径长为22的圆. 又z的几何意义是Z(x,y)与原点O(0,0)的距离, 如图,由平面几何知识知,zminCACO2222.

【设计意图】在问题(1)中由复数相等的概念,列方程组求出两个参数值,把复数问题实数化,既复习了概念,又锻炼了学生的计算能力和解决问题的能力; 在问题(2)中由z(x0)2(y0)2,把z转化为复数z所对应的点与原点的距离,解决此类问题的关键是利用复数的几何意义画出图形,在图形中寻求答案,把数转化成形,利用数形结合思想解决即可．

变式训练: 复数z的模为1,求z1i的最大值和最小值. 答案: 2+1,21. 【设计意图】通过变式训练,便于学生全面的认识利用复数差的模的几何意义解决问题,提高学生理解、运用知识的能力. 例4、已知复数z

(13i)(1i)(13i)w,wzai(aR)，当2时，

iz6

求a的取值范围。

思路：先根据四则运算法则算化简z，然后得w，然后球的

例5、已知复数z满足z5且(34i)z是纯虚数，则z=___________ 思路：先求z在代入模的运算，进而用共轭得出

例6、已知复数z12i,z2z1i（1）求z2

（2）在ABC的三个内角A，B，C依(2i1)z1C，求uz2的取值范围。

2w，进而求其模，解不等式。

z次成等差数列，且ucosA2icos2思路：（1）将z1代入式子求z2（2）利用三角形内角和、等差数列性质求得B，再利用二倍角公式求得u的最简解析式，进而利用三角函数的值域求范围。

五、课堂小结 (一)知识: 1.复数代数形式的四则的运算法则; 2.复数四则运算的几何意义. 3.几点说明:

(1)复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来; (2)复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减; (3)多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减．

(4)复平面内的两点间距离公式:dz1—z2. 其中z1,z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数,d为点Z1和点Z2间的距离. 即两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的两个点之间的距离．

(二)思想方法:类比的思想、转化的思想、数形结合的思想．

【设计意图】通过课堂小结,增强学生对复数代数形式的加法、减法的运算法则及几何意义的理解,及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性,加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．深化对知识的理解,完善认识结构,领悟思想方法,强化情感体验,提高认识能力.引导学生自我反馈、自我总结,并对所学知识进行提炼升华,使知识系统化.让学生学会学习,学会内化知识的方法与经验,促进学习目标的完成. 六、布置作业 必做题：

1.计算：(1)(24i)(34i);

(2)(34i)(2i)(.1

2.复数6+5i与3+4i对应的向量分别是OA与OB,其中O是原点,求向量AB,BA对应的复数,并指出其对应的复数位于第几象限.

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3.复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,52i,则由A,B,C所构成的三角形△ABC是 三角形.

4.求复数2i,3i所对应的两点之间的距离．

5.已知复数z满足z+z28i,求复数z. 6.已知平行四边形OABC的三个顶点O,A,C对应的复数分别为0,32i,24i,试求:

(1)AO表示的复数; (2)CA表示的复数;

(3)B点对应的复数. 答案: 1.(1)5; (2)22i. 2.9i,位于第三象限; 9i,位于第一象限. 3.直角三角形.

4.5.

5.z158i.

6.(1)32i;

(2)52i;

(3)16i

选做题：

1.在复平面内,求满足方程z+izi4的复数z所对应的点的轨迹．

2.复数z1,z2满足z1z21,z1+z22,求z1z2.

答案： 1.提示:方程可以变形为z(i)zi4|,表示到两个定点(0,1)和(0,1)距离之和等于4的点的轨迹,故满足方程的动点轨迹是椭圆．

2.提示:法一:数形结合思想,构造边长为1的正方形,则其中一条对角线的长度为2,则所求的另一条对角线的长度也等于2. 法二:(向量法)设z1,z2所对应的向量分别是a,b,将z1+z2所以z1z22两边平方得ab0,则(z1z2)22,2. 【设计意图】设计必做题是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯,是让学生会用复数代数形式的加法、减法的运算法则进行计算;设计选做题意在培养学生深刻理解复数差的模的几何意义,增加问题的多样性、趣味性,训练学生思维的发散性、深刻性.让学生理解知识之间的联系,培养学生用整体的观点看问题,起到巩固旧知的作用．

七、教后反思

1.本教案的亮点是: （1）本节中由于复数的加法法则是规定的,从问题入手,引导学生思考,让学生理解这种规定的合理性．在复数加法的运算律及几何意义的处理上,都是让学生自主探究,使学生在参与中学会学习,学会合作,突出体现以学生为主,教师为辅的新课程理念．

(2)对于复数减法的处理,采用了类比的数学思想方法,让学生自主探究,自己总结,且法则可以用已学的知识推导,使学生体会其中的思想方法,培养学生的创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力．

(3)例题和练习的设计遵循由浅入深,循序渐进的原则,低起点,多落点,高终点,尽可能地照顾到各个层次

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的学生．

2.本节课的弱项是:复数的几何意义的例题没能体现学生的动手能力. 八、板书设计

一、复习引入

二、探究新知

变式训练

例3

三、理解新知

变式训练

四、运用新知

五、课堂小结

例1

变式训练

六、作业

3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义

例2

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