3.2.2 直线的两点式方程教学目标

3.2.2

直线的两点式方程

【教学目标】

（1）会求直线的两点式方程、截距式方程，掌握两者的关系及适用范围

（2）会求线段中点坐标

【教学重点】

(1)直线两点式方程和截距式方程的求解及其适用范围

(2)线段中点的坐标公式

【教学难点】

两点式方程推导过程的理解

【教学过程】

一

预习自测

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)斜率不存在的直线有两点式方程．(

) (2)与x轴平行的直线没有两点式方程．(

) (3)过原点的直线没有截距式方程．(

) y－y1y2－y1(4)过点(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的直线方程是＝.(

) x－x1x2－x1答案：(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

2．经过两点(5,0)，(2，－5)的直线方程为(

) A．5x＋3y－25＝0

B．5x－3y－25＝0 C．3x－5y－25＝0

D．5x－3y＋25＝0 y－0x－5解析：选B.过两点(5,0)，(2，－5)的直线方程为＝，即5x－3y－25－5－02－5＝0. 3．直线2x＋3y－6＝0与坐标轴围成的三角形面积为________．

解析：令x＝0，则y＝2；令y＝0，则x＝3. 1∴三角形面积为S＝2×3×2＝3. 答案：3 二

新知学习

1．对直线的两点式方程的理解

(1)应用的前提条件

①当x1≠x2，y1≠y2，即直线的斜率不存在及斜率为零时没有两点式方程．

②当x1＝x2时，直线方程为x＝x1；

当y1＝y2时，直线方程为y＝y1. (2)对两点式方程形式的两点说明

y－y1x－x1y－y2x－x2①方程＝也可写成＝，两者形式有异但实质相同．但不y2－y1x2－x1y1－y2x1－x2y－y1y2－y1与＝或(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)等价．两点式方程有它的局限x－x1x2－x1性，而(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)则可表示过平面内的任意不同两点的直线．

②要注意方程两边分式的分子、分母四个减式的减数为同一点的横、纵坐标．

2．对直线的截距式方程的理解

(1)直线方程的截距式的特征是x项分母对应的是横截距，y项分母对应的是纵截距，中间以“＋”连接．

(2)由直线方程的截距式可直接得到直线与x轴、y轴的交点，因此在作图和解决与面积有关的问题时用起来非常方便．

三

例题精讲

1.直线的两点式方程及其应用

(1)直线l过点A(－1，－1)和B(2,5)，且点C(1 007，b)为直线l上一点，则b的值为(

) A．2 013

B．2 014 C．2 015

D．2 016 y＋1x＋1[解析]

由直线的两点式方程可得l的方程为＝，即y＝2x＋1，又因点5＋12＋1C(1 007，b)是直线l上一点，所以b＝2×1 007＋1＝2 015. [答案]

C (2)已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，

①求BC边的方程；

②求BC边上的中线所在直线的方程．

[解]

①∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，

y－－4x－5∴由两点式得＝，

－2－－40－5即2x＋5y＋10＝0. 故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．

②设BC的中点为M(x0，y0)，

5＋05－4＋－2则x0＝2＝2，y0＝＝－3. 25∴M2，－3，

又BC边上的中线经过点A(－3,2)．

y－2x－－3∴由两点式得＝，

－3－252－－3即10x＋11y＋8＝0. 故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 【方法归纳】

(1)过两点的直线方程的求法：①利用两点式求直线方程；②在斜率存在时，可先求出直线斜率，再利用点斜式写出方程．

(2)①首先要鉴别题目条件是否符合直线方程相应形式的要求，对字母则需分类讨论；②注意问题叙述的异同，本题(2)中第一问是表示的线段，所以要添加范围；第二问则表示的是直线．

【练习】

1．(1)(2015·淮安高一检测)已知△ABC的三顶点A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为

AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为____________．

答案：2x＋y－8＝0 (2)直线l经过两点A(1,0)，B(m,1)，求直线l的方程．

y－0x－1解：当m≠1时，直线l的方程是＝，

1－0m－1即x－(m－1)y－1＝0；

当m＝1时，直线l的方程为x＝1.

2.直线的截距式方程及其应用

xy(1)直线l1：y＝kx＋b(kb≠0)；直线l2：k＋b＝1在同一坐标系中的图象可能是(

)

[解析]

∵kb≠0，由四个选项中的l1可知k>0，可排除A、C；当b<0时，可排除B；当b>0时，选项D符合题意．

[答案]

D (2)已知直线l经过点(3，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．

[解]

法一：由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设其斜率为k，则可得直线的方程为y＋2＝k(x－3)．

令x＝0，得y＝－2－3k，

2令y＝0，得x＝k＋3. 2由题意－2－3k＝k＋3，

2解得k＝－1或k＝－3. 所以直线l的方程为

2y＋2＝－(x－3)或y＋2＝－3(x－3)．

即为x＋y－1＝0或2x＋3y＝0. 法二：设直线l在两坐标轴上的截距均为a. ①若a＝0，则直线l过原点，此时l的方程为2x＋3y＝0；

xy②若a≠0，则l的方程可设为a＋a＝1，

因为直线l过点(3，－2)，

3－2知a＋a＝1，即a＝1. 所以直线l的方程为x＋y＝1，

即x＋y－1＝0. 综上可知，直线l的方程为x＋y－1＝0或2x＋3y＝0. 【方法归纳】

求与截距有关的直线方程时，可用截距式求解，但截距式方程不表示垂直于坐标

轴或过坐标原点的直线，因而要特别注意这些特殊情况．与截距有关的问题也可设出点斜式或斜截式方程，求出截距，利用截距的关系求出斜率，再写出方程．

【练习】

2．下列说法正确的是(

) y－y1A．方程＝k表示过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程

x－x1B．直线y＝kx＋b与y轴的交点为B(0，b)，其中截距b＝|OB| xyC．在x轴、y轴上截距分别为a、b的直线方程为a＋b＝1 D．方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示过任意不同两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线方程

y－y1解析：选D.方程＝k表示过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线，但不包括点P1(x1，x－x1y1)，故A错；

截距为b，但b≠|OB|，因为它可以为负数，故B错；

当a、b中至少有一个为零时，不能用截距式表示直线方程，故C错；只有D正确．

3.直线方程的实际应用

某房地产公司要在荒地ABCDE(如图所示)上划出一块长方形地面(不改变方位)建造一幢8层楼公寓，已知DE＝100 m，CD＝80 m，AE＝60 m，BC＝70 m，∠C＝∠D＝∠E＝90°.问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．(精确到1 m2)

[解]

建立如图所示的坐标系，

xy则线段AB的方程为：30＋20＝1(0≤x≤30)．

设P的坐标为(x，y)，

2x则y＝20－3，

∴公寓占地面积

2xS＝(100－x)(80－y)＝(100－x)(80－20＋3) 220＝－3x2＋3x＋6 000(0≤x≤30)．

50当x＝5，y＝3时，S最大，最大值为

220Smax＝－3×52＋3×5＋6 000≈6 017(m2)．

190即当长为95 m，宽为3

m时，公寓占地面积最大，最大值约为6 017 m2. 【方法归纳】

用解析法解决实际问题，就是依据实际问题的条件，建立平面直角坐标系，用坐

标表示点，用方程表示直线，从而将问题转化为代数问题，用代数的方法使问题得以解决．

【练习】

3．如图所示，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李重量x(kg)的关系用直线AB的方程表示．试求：

(1)直线AB的方程；

(2)旅客最多可免费携带多少行李．

解：(1)由题意可知，行李票费用y与行李重量x的关系用直线AB的方程表示，且A点坐标为(60,6)，B点坐标为(80,10)．

根据直线的两点式方程可得直线AB的方程为

y－10x－80＝，即x－5y－30＝0. 10－680－60(2)由(1)知当y＝0时，x＝30，所以旅客最多可免费携带30 kg行李．

4.易错点剖析

3求与两坐标轴围成的三角形周长为9，且斜率为－4的直线方程．

xy[解]

设直线方程为a＋b＝1. 由题意知

|a|＋|b|＋a2＋b2＝9，

①b

3－＝－4.

②a3由②知，b＝4a代入①得，

323|a|＋4|a|＋a＋4a2＝9，

35|a|＋4|a|＋4|a|＝9，

所以3|a|＝9，|a|＝3，

9所以a＝3时，b＝4，

9a＝－3时，b＝－4. xyxy所以直线方程为3＋9＝1或＋9＝1，

－3－44即3x＋4y－9＝0或3x＋4y＋9＝0. [错因与防范] (1)本题易出现以下两方面错误：

①对题意不明，误认为该直线在坐标轴上的截距都为正数，而忽略为负值的情况，

得出a＋b＋a2＋b2＝9. ②不会将斜率转化为用两截距表示导致无法求解．

(2)解答本类题目必须全面理解题意，辨清题目中包涵的各种情况，正确区分截距与距离两类不同的概念，恰当地选择方程的形式．

【练习】

4．求经过点P(－5，－4)，且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程．

xy解：设所求直线方程为a＋b＝1. ∵直线过点P(－5，－4)，

－5－4∴a＋b＝1，于是得4a＋5b＝－ab，①

1又由已知得2|a|·|b|＝5，即|ab|＝10.②

4a＋5b＝－ab，由①②得

|ab|＝10.5a＝－a＝5，2解得或

b＝－2.b＝4xyxy故所求方程为5＋4＝1或5＋＝1. －2－2即8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0. 【板书设计】

1．直线方程的两点式和截距式

名称

已知条件

示意图

方程

适用范围

y－y1P1(x1，y1)，两

不与坐标轴平

y2－y1P2(x2，y2)，

点

行或重合的直其中x1≠x2，x－x1

式

线

＝

y1≠y2

x2－x1xy截

在x、y轴上的不与坐标轴平＋

ab距

截距分别为a、行且不过原点

＝1

式

b且ab≠0

的直线

2.线段的中点坐标公式

若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，设M(x，y)是线段P1P2的中点，则

x1＋x2x＝2y1＋y2y＝2

.

【课后练习】

[A.基础达标]

1．若直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程(

) A．一定可以写成两点式或斜截式

B．一定可以写成两点式或截距式

C．一定可以写成点斜式或截距式

D．可以写成点斜式、斜截式、两点式、截距式中任何一种

答案：A 2．点A(4，m)关于点B(n，－3)的对称点为C(6，－9)，则(

) A．m＝－3，n＝10

B．m＝3，n＝10 C．m＝－3，n＝5

D．m＝3，n＝5 4＋6n＝2解析：选D.由中点坐标公式m＋－9－3＝2

m＝3，⇒

n＝5.

3．光线从A(－3,4)点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C(1,6)，则BC所在直线的方程为(

) A．5x－2y＋7＝0

B．2x－5y＋7＝0 C．5x＋2y－7＝0

D．2x＋5y－7＝0 解析：选A.点A(－3,4)关于x轴的对称点A′(－3，－4)在反射光线所在的直线x－－3y－－4上，所以所求直线为＝，即5x－2y＋7＝0. 1－－36－－4xyxy4．两直线m－n＝1与n－m＝1的图象可能是图中的哪一个(

)

xynxym解析：选B.由m－n＝1，得y＝mx－n；由n－m＝1，得y＝nx－m，即k1与k2同号且互为倒数．

5．过点P(1,4)且在x轴，y轴上的截距的绝对值相等的直线共有(

) A．1条

B．2条

C．3条

D．4条

解析：选C.当直线经过原点时，横、纵截距都为0，符合题意．当直线不经过原xy点时，设直线方程为a＋b＝1. 14＋＝1，由题意得ab

|a|＝|b|，

a＝－3a＝5，解得或

b＝3b＝5.

综上符合题意的直线共有3条．

6．以点P(5,8)和Q(3，－4)为端点的线段的中垂线方程是____________．

答案：x＋6y－16＝0 7．直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1,4)、D(5,0)，则直线l的方程为____________．

解析：由题意可知l过平行四边形ABCD的中心，BD的中点为(3,2)，所以由两x－0y－02点式可得直线l的方程为＝，即y＝3x. 3－02－02答案：y＝3x

8．直线2x－y－k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则k的值为________．

k解析：令x＝0，y＝－k，令y＝0，x＝2，

k由题意知2＋(－k)＝2，解得k＝－4. 答案：－4 9．已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过点(6，－2)，求直线l的方程．

解：法一：设直线l的点斜式方程为y＋2＝k(x－6)(k≠0)．

2令x＝0，得y＝－6k－2；令y＝0，得x＝k＋6. 2于是k＋6－(－6k－2)＝1，

21解得k1＝－3或k2＝－2. 2121故直线l的方程为y＋2＝－3(x－6)或y＋2＝－2(x－6)，即y＝－3x＋2或y＝－2x＋1. 法二：设直线l的斜截式方程为y＝kx＋b. b令y＝0，得x＝－k. b12－＝b＋1k1＝－k2＝－，2或3依题意，得k⇒

6k＋b＝－2b1＝1b2＝2.12故直线l的方程为y＝－2x＋1或y＝－3x＋2. y－bx－0法三：设直线l与y轴的交点为(0，b)，则直线方程的两点式为＝. －2－b6－06b令y＝0，得x＝. b＋26b于是＝1＋b，解得b1＝1或b2＝2. b＋212故直线l的方程为y＝－2x＋1或y＝－3x＋2. xy法四：设直线l的截距式方程为＋b＝1，

b＋1

∵直线l过点(6，－2)，

－26∴＋b＝1，解得b1＝1，b2＝2. b＋1xxy∴直线l的方程为2＋y＝1或3＋2＝1.

10．(2015·荆州高一检测)已知△ABC的三顶点是A(－1，－1)，B(3,1)，C(1,6)，1直线l平行于AB，交AC，BC分别于E，F，△CEF的面积是△CAB面积的4.求直线l的方程．

1＋111解：由已知，直线AB的斜率k＝＝2.因为EF∥AB，所以直线EF的斜率为2.3＋11因为△CEF的面积是△CAB面积的4且△CEF∽△CAB，所以△CEF与△CAB的1CE1相似比是2，所以CA＝2，所以E是CA的中点．

5点E的坐标是0，2. 51所以直线EF的方程是y－2＝2x，

即直线l的方程为x－2y＋5＝0. [B.能力提升] 1．过点(－2,0)且在两坐标轴上的截距之差为3的直线方程是(

) xA.＋y＝1 －2xyB.＋＝1 －2－5xyC.＋＝1 －2－1xxyD.＋y＝1或＋＝1 －2－2－5解析：选D.∵直线过点(－2,0)，∴在x轴上的截距为－2. 又直线在两坐标轴上的截距之差为3，

∴直线在y轴上的截距为1或－5. xxy∴直线方程为＋y＝1或＋＝1. －2－2－52．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(

) A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞) b解析：选C.∵直线x－2y＋b＝0在两坐标轴上的截距分别为－b和2，

∴该直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为

1b122＝b，

S＝2|－b|·41∴4b2≤1，∴b2≤4，即b∈[－2,2]．

又∵b＝0时，该直线与两坐标轴围不成三角形，∴b≠0，

∴b的取值范围为[－2,0)∪(0,2]．

3．由一条直线2x－y＋2＝0与两坐标轴围成一直角三角形，则该三角形外接圆半径为________．

解析：因所围成的直角三角形的斜边长为该三角形的外接圆的直径，该直线在两坐标轴上的截距分别为－1和2，

所以该直角三角形的斜边长为12＋22＝5，

5所以外接圆的半径r＝2. 5答案：2

4．已知两点A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy的最大值为________．

xy解析：设线段AB的方程为3＋4＝1(0≤x≤3)，

x则y＝41－3(0≤x≤3)，

x43所以xy＝4x1－3＝－3x－22＋3，

3当x＝2时，xy取得最大值为3. 答案：3 5．已知三角形的顶点是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)．

(1)求直线AB的方程；

(2)求直线AB与坐标轴围成的三角形的面积；

(3)若过点C的直线l与线段AB相交，求直线l的斜率k的范围．

y－0x－－5解：(1)由两点式得直线AB方程为＝，

－3－03－－5整理得3x＋8y＋15＝0. 15(2)由(1)知直线AB在x轴上的截距为－5，在y轴上的截距为－8，

所以直线AB与坐标轴围成的三角形的面积为

11575S＝2×5×8＝16. 2－02(3)因为kAC＝＝5，

0－－5

2－－35＝－3. 0－3要使过点C的直线l与线段AB相交，

25结合图形(图略)知k≥5或k≤－3. 6．如图所示，已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，求△AOB面积最小时l的方程．

kBC＝解：设A(a,0)，B(0，b)，显然a>3，b>2，

xy则直线l的方程为a＋b＝1，

322a∵P(3,2)在直线l上，∴a＋b＝1，于是b＝，

a－31a2∴S△ABC＝2ab＝，整理得a2－S△ABC·a＋3S△ABC＝0(*)．

a－32∵此方程有解，∴Δ＝S△ABC－12S△ABC≥0，

又∵S△ABC>0，∴S△ABC≥12，S△ABC最小值＝12. 将S△ABC＝12代入(*)式，

得a2－12a＋36＝0，解得a＝6，b＝4. xy此时直线l的方程为6＋4＝1，即2x＋3y－12＝0.