一、圆锥曲线的光学性质及其应用教学实录

教学基本信息

课题

是否属于

地方课程或校本课程

学科

相关

领域

教材

教学设计参与人员

设计者

实施者

指导者

课件制作者

姓名

马菲菲

指导思想与理论依据

普通高中《数学课程标准》（2017年版）指出：数学文化应融入数学教学活动。在教学活动中，教师应有意识的结合相应的教学内容，将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学的发展历程，感悟数学的价值，提升数学的科学精神、应用意识和人文素养；将数学文化融入教学，还有利于激发学生的数学学习兴趣，有利于学生进一步理解数学，有利于开拓学生视野、提升数学学科核心素养。

在提倡自主探索与合作学习的新课程理念下，数学不再是单纯的知识接受，而是以学生为主体的教学活动。本节课学生通过收集、阅读平面解析几何的形成与发展的资料，体会解析几何的基本思想和研究方法，感悟其中蕴含的数学思想以及理性精神和人文精神。

此外，本节课借助TI图形计算器，为学生学习数学知识提供一个实践操作的重要载体，通过自主探究教学，使学生自由地畅游于数学知识的海洋中，使学生充分体会和感悟数学知识的魅力所在，增强数学学习的趣味性和实用性。

教学背景分析

单位

首都师范大学附属密云中学

联系方式

数学

学段：

选修2-1 解析几何

书名：普通高中课程标准实验教科书

数学

选修2-1 出版社：人民教育出版社

出版日期：2007年2 月

抛物线及其标准方程

否

年级

高二

1

教学内容：

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版选修2-1）第二章第四节的内容。《抛物线及其标准方程》是圆锥曲线的第三部分，抛物线是在学习了椭圆、双曲线的基础上研究的又一种圆锥曲线。本节课的讲解是在学生已经对椭圆及双曲线标准方程的求解比较熟练，并且掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行的。此外，初中已经在二次函数部分作了简单说明，但初中所介绍抛物线更关注作为函数意义上研究数量关系的应用。本节课的研究是对初中内容深层次的理解，从解析几何观点利用抛物线的定义推出抛物线标准方程，为用解析法研究抛物线的几何性质起到铺垫作用。学生经历类比椭圆、双曲线的定义及方程求解过程，经过分析、探究、巩固，使学生构建完整的知识体系。

学生情况：

高二年级的学生已经具有一定的几何直观想象能力、抽象概括能力和推理运算的技能，有较好的学习习惯和方法。在本节课之前，学生知道斜抛物体的轨迹是抛物线，对抛物线的几何图形己经有了直观的认识；学生在必修1研究了二次函数及其图像抛物线，在本章学习了曲线与方程、椭圆和双曲线，对圆锥曲线的研究过程和研究方法有了一定的了解和认识，这对于抛物线的学习有借鉴、迁移的作用。

此前，学生已经能够借助TI图形计算器作图并研究相关函数性质。利用TI手持计算器，能使学生亲历各种数学知识的形成过程，观察、思考和研究问题，并且教师能够通过网络及时了解学生的反馈，学生从原来的被动知识接受者转化为主动参与的学习者，学习兴趣明显增强。

教学方式和教学手段：

采用自主互助教学模式，借助TI图形计算器进行探究，运用多媒体辅助教学。

技术准备：TI图形计算器软件，电子白板。

教学目标(内容框架) （一）教学目标

1.能从现实问题中抽象出抛物线模型，并借助图形计算器研究图形的形成，提升直观想象、数学抽象素养。

2.利用圆锥曲线的研究方法，经历类比椭圆、双曲线方程进行自助探究，通过数形结合推导抛物线标准方程，提升逻辑推理、数学建模及数学运算素养。

3.通过了解数学文化，深入体会解析几何的内涵及研究方法，培养学习兴趣，提升人文素养。

（二）重难点

重点：抛物线定义的形成及标准方程的推导。

难点：标准方程推导过程中的运算化简。

教学流程示意(可选项)

2

教学过程(表格描述) 学生

活动

时技术间应用

安排

PPT

8 教学阶段

教师活动

设置意图

1.

请同学介绍解析几何发展的过程

创设情境

引入课题

借助笛卡尔解析几何基本思想带领学生复习求曲线方程的步骤

2.请同学展示生活中抛物线的例子

3

学生展示

让学生了解解析几何产生背景，感悟其中蕴含的解析几何的基本思想及人文精神，

梳理方法，为接下来学生独立推导标准方程做铺垫。

展示生活中抛物线的例子，感受抛物线在实

一、活动探究

问题1：已知平面内一定直线

和直线外一定点

，你能否在平面内找到点

，满足它到定点

和定直线

的距离相等？

活动1：请同学们借助TI图形计算器尝试找到满足上述条件的点的轨迹，完成学案上的问题。

巡视，发现学生问题及闪光点

教师技术准备：

小组合作

探究完成

得出结论

尝试归纳定义

完成学案

际生活中的广泛应用，提升文化素养，增强学习兴趣。

引入一个开放性问题，激发学生学习的兴趣。

学生通过合作探究，借助现有工具和已有知识画出抛物线的轨迹

找到抛物线应该满足的几何条件，为下面顺利的抽象出抛物线定义做铺垫。

给出概念，让学生正确的认识抛物线及它的焦点和准线.

TI图形计算器

10

3

研究图形

形成概念

问题2：满足上述条件的点的轨迹是 ；轨迹上所有点满足的几何条件是 .

二、归纳抽象

1.抛物线定义：平面内与一个定点F和

4

一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，

点

叫做抛物线的焦点，

直线

叫做抛物线的准线。

2.焦准距：

设焦点到准线的距离| |为

，

活动2：尝试建立恰当的直角坐标系并小组合作完成方程推导抛物线的标准方程。

推导

指导学生合作完成标准方程的推导.

巡视、发现并解决学生的问题

预设：三种建系方式

展示小组讨论结果

对比得出

数形转化

图3建系

推导方程

将学生不同建系方式的不同结果展示、方式所得方程最简对比，纠正问题，得标准方程. 单.

抛物线的标准方程

修改、得

出正确标强调：此时抛物线焦点在x轴正半轴上.准方程

开口向右

焦点

坐标：

观察焦

点、准线

准线

方程：

特点

三、推导方程

不限制学生的思维，由学生自己选择建系方式，培养学生逻辑推理及数学运算素养。

没有比较就没有最优方法，对比得出标准方程之后与学生分析产生问题的原因。

带领学生分析观察方程特征，总结并发现规律，为后面三种方程的推导做准备

PPT

12

3

5

数形结合

完善结论

推导不同情况的标准方程、焦点坐标、

准线方程

独立思考

小组讨论

完成学案

寻找记忆引导学生寻找不同类型抛物线图形之方法

间的关系，对应标准方程、焦点坐标及准线方程之间的关系

回忆

体会

利用图形间关系推导不同类型的抛物线标准方程

强化学生记忆及理解方程、焦点、准线间的关系

PPT

6 1.回顾总结解析几何问题的研究回顾过程

方法

归纳要点

2.抛物线定义

3.抛物线的标准方程

课后作业

巩固成果

1.画出四种抛物线的图象，写出标准方程、准线方程及焦点坐标并记忆. 2. 纸质作业

引导学生反思学习过程，概括出研究解析几何问题的思想方法. PPT 2

记录

巩固所学知识

1 学习效果评价设计

评价方式

1.

分析不同图形对应方程特征并记忆，能够画出四种抛物线的图象，并写出标准方程、准线方程及焦点坐标.

2.

已知抛物线的标准方程是

，求它的焦点坐标和准线方程.

3.

已知抛物线焦点在x轴上，并且焦点到准线的距离是6，请写出它的标准方程.

评价量规

1.结果性评价：通过课堂练习环节进行测评.本节课学生能够较为顺利地达到教学目标中知识目标的要求，通过率86.1％，个别学生对四种不同类型的抛物线的焦点坐标和准线方程混淆。

2.过程性评价：

（1）积极发表个人观点和意见的表现程度。

（2）课前准备阶段任务的完成情况。

（3）活动实施过程中的参与程度及研究结果。

（4）展示交流阶段专注程度以及理解程度。

（5）学习积极性和学习体会。

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本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数) 1.教学设计的立意。本节课学生通过收集、阅读平面解析几何的形成与发展的资料，了解解析几何产生背景，体会解析几何的基本思想和研究方法，将方法梳理，利用到方程推导过程中去，发掘数学的人文价值和应用价值，让学生了解到数学家的优良品质及重要的数学思想，活跃课堂气氛，激发学生学习主动性。

2.设置问题开放，给思维以空间，给思考以时间。数学是一个承担培养学生创造性思维的科目，基于核心素养的教学，更多的要关注学生如何学。在本节课的问题设置中，将问题开放，预设学生可能产生的结果并带领学生加以分析，不仅提升了学生数学建模及数学运算的素养，还培养了学生分析问题的严谨性。 3.将信息技术融入课堂。教学中使用图形计算器最大的优势，是对于一些复杂的作图和动态的变化，使用图形计算器不仅作图更准确，而且更直观的展示了变化的过程，更有操作性，加深了学生对这部分知识的理解。除此之外，它能使学生真正动起来参与到课堂中，虽然有时学生的结论不够准确，但在思考后此类问题留下的印象会很深刻。

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