探究与发现 为什么是双曲线的渐近线课堂实录

第一届全市中小学青年教师教学竞赛教学片段

设计表

单位

湘潭凤凰中学

组别 高中组 科目 数学 教学片段标题：双曲线的渐近线

学情分析：

通过特例，然后引导学生猜想双曲线的渐近线并给予证明，因此需要学生具有归纳猜想证明的能力，只要老师好好引导，高二学生是能完成归纳猜想的，难点是证明，需要学生有很强的运算能力。

教学目标：

x2y2一、知识与技能：理解双曲线存在渐近线，并能够证明双曲线221的渐abbx。

a二、过程与方法目标：通过画出双曲线图象引入渐近线的定义，从而去证明双曲线的渐近线方程，循序渐进地去探究双曲线渐近线问题，体验数与形结合的思想，使学生体验根据方程研究曲线性质的放法，进一步建立数与形的内在联系。

三、情感、态度、价值观目标：由双曲线渐近线的发现过程使学生感受探索的乐趣；由方程证明猜想过程，体会数学的理性和严谨，养成实事求是的科学态度，增强学习数学知识的兴趣。

教学重难点：

近线就是y重点：归纳猜想证明双曲线的渐近线

难点：证明双曲线的渐近线

教学过程：

1. 渐近线的发现与论证：

x2y21

位于第一象限内的双曲线上找一点M，点思考：（1）在双曲线94M的横坐标xM与它到直线

x3y0的距离d有什么关系？

2 （用几何画版演示）

【设计意图】让学生直观感受双曲线的渐近线的存在。

（2）d能否为0？

反证法：若d=0，则双曲线与直线相交，设交点坐标为M(x0,y0) x02y02xyxyx0y0(00)(00)01

则0，又32943232所以点M不在双曲线上，与点M在双曲线上矛盾

∴

d≠0 . 归纳总结：双曲线上的点在远离原点时无限接近这条直线但永远不能到达这条直线

。

【设计意图】引导学生直观感受双曲线的渐近线的存在，明确渐近线与双曲线的关系。

x2y22.猜想221渐近线

abx2y2思考：一般地，双曲线221（a>0,b>0）的图象会无限接近哪条直线？

ab

x2y2xy结论：①直线0是双曲线221（a>0,b>0）的渐近线方程

abab

②画双曲线时，我们可以先画矩形框，然后画出双曲线的渐近线，最后再画双曲线。

【设计意图】让学生自己归纳出双曲线的渐近线方程。培养学生的归纳能力。

x2y2b3.证明直线yx是221渐近线

abax2y2b为什么直线yx是221

渐近线呢？数学是严谨的，所以我们该如aba何证明“无限接近”？

（教学中启发学生可以从渐近线定义出发证明，并且从代数理论上去刻画“无限接近”，并且鼓励学生用多种方法去证明）

师生活动：

x2y2b根据对称性只要证在第一象限221的渐近线是y=x

aba师生讨论后觉得用教材P62-63的探索与发现证明比较好

【设计意图】学生经历从片面到全面、从模糊到清晰、从表象到本质的复杂的思维过程，

使学生在探究验证中发现，逐步认识双曲线渐近线的本质内涵，从而使得学生头脑中有对形的变化的直观认识，使学生在开放的学习情景中经历知识的再发现和再创造，很好地培养了学生勇于探索发现、不断进取的数学精神。

y2x24.双曲线2-2=1的渐近线

aby2x2 提问：双曲线2-2=1的渐近线是什么呢？

ab 【设计意图】了解学生对双曲线的渐近线的理解程度及类比能力

5.应用巩固

4例.如果我们已知某双曲线的渐近线为yx，你能写出双曲线的方程吗？

3

【设计意图】培养学生逆向思维能力并总结出双曲线与渐近线的关系：

已知双曲线的标准方程求渐近线只要令方程右边的“1”等于“0”，就可以求xy出；已知双曲线的渐近线求标准方程，先把渐近线化成0的形式，则标准abx2y2方程就是221。

ab6、播放音乐《悲伤的双曲线》

【设计意图】让学生加深渐近线有理解和感悟。

板书设计

双曲线的渐近线

1、焦点在X轴上；

多媒体展示

例题

2、焦点在Y轴上；