1.2.1 充要条件ppt配套教案板书设计

充要条件

充分条件与必要条件

学习目标1.会判断一个命题的充要条件. 2.会求一个命题的充要条件. 3.会证明p是q的充要条件.

重点：充要条件的判断与证明及充要条件的探求；

难点：对充要条件的理解及含参数问题的讨论. 一般地，如果既有p⇒q，又有q

p，就记作p

q，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称

显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．

1．符号“⇔”的含义是什么？

提示：符号“⇔”的含义是“等价于”，例如“p⇔q”可以理解为“p是q的充要条件”“p等价于q”“q当且仅当p”；“p⇔q”的含义还可以理解为“p⇒q且q⇒p”．

2．充要条件与原命题、逆命题有什么关系？

提示：充要条件的实质是原命题和逆命题均为真命题．

类型一充要条件的判断

【例1】

下列所给的p、q中，p是q的充要条件的所有序号为________．

①p：x＝1，q：lnx＝0；②p：a2＝b2，q：a＝b；

③p：|x|>3，q：x2>9；④p：x>y>0，q：x2>y2. 【分析】

p⇔q⇔p与q互为充要条件

【解析】

①由于p：x＝1⇔q：lnx＝0，所以p是q的充要条件；

②由于p：a2＝b2⇒/q：a＝b，所以p不是q的充要条件；

③由于p：|x|>3⇔q：x2>9，所以p是q的充要条件；

④由于p：x>y>0⇐/q：x2>y2，所以p不是q的充要条件

练习1：p是q的充要条件的是(

) A．p：3x＋2>5，q：－2x－3>－5 B．p：a>2，b<2，q：a>b

C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形

D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解

例2：充要条件的证明

例2】

求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 【分析】

(1)先分清条件和结论，然后证明充分性和必要性．(2)本题中的条件是ac<0，结论是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根．(3)本题要借助于判别式和根与系数的关系的相关知识来证明．

求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2. 证明：(1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0. 所以x2＋mx＋1＝0有实根，两根设为x1、x2. 由韦达定理，知x1x2＝1>0，所以x1与x2同号．

又x1＋x2＝－m≤－2<0，所以x1，x2同为负实数，

即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2. (2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根x1和x2，且x1x2＝1，

【例3】

已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋b(a≠0，且a≠1)，求数列{an}是等比数列的充要条件．

【分析】

可以先求必要条件，再求充分条件，注意等比数列的定义及性质的应用．

【解】

(1)先求必要条件：

当n＝1时，a1＝S1＝a＋b，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1(a≠0，且a≠1)，

∵数列{an}为等比数列，∴公比为a，且a－1＝a＋b. ∴b＝－1，即{an}是等比数列的必要条件是b＝－1. (2)再求充分条件：

当b＝－1时，Sn＝an－1(a≠0，且a≠1)，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1. 当n＝1时，a1＝S1＝a－1，满足上式．

∴an＝(a－1)an－1(a≠0，a≠1，n≥1)．

an∴＝a(n≥2)．

an－1∴{an}是以a(a≠0,1)为公比的等比数列．

∴{an}是等比数列的充分条件是b＝－1. 综上，{an}是等比数列的充要条件为b＝－1.

求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．

1：当a＝0时，x＝－2符合题意．

当a≠0时，令f(x)＝ax2＋2x＋1，由于f(0)＝1>0，

2∴当a>0时，Δ＝4－4a≥0，且－2a<0，即00，

所以方程恒有负实数根．

综上所述，a≤1为所求．