3.1.3 空间向量的数量积运算优质课教案推荐

3.1.3 空间向量的数量积运算

同心中学 马慧燕

一、课题：空间向量的数量积 二、教学目标：1．巩固空间向量数量积的概念；

2．熟练应用空间向量数量积解决立体几何中的一些简单问题。

三、教学重、难点：应用空间向量数量积解决问题．

四、教学过程：

（一）复习：

1．空间向量夹角的概念和范围；

2．空间向量数量积的概念；

3．向量AB在e方向上的射影：|AB||AB||cosAB,e|．

（二）新课讲解：

例1．已知线段AB,BD在平面内，线段AC，若ABa,BDb,ACc，

BDAB， 求C,D间的距离．

解：（方法一）连结AD，

∵AC,AD，∴ACAD，

在ABD中∵BDAB，

∴AD2AB2BD2a2b2，

在ACD中∵ACAD，所以，CDAC2AD2a2b2c2．

（方法二）：|CD|2(CAABBD)2

|CA|2|AB|2|BD|22CAAB2CABD2ABBD 又∵AC,AB,BD，∴ACBD,ACAB，

又∵ABBD，∴BDAB，∴CAAB0,ABBD0,CABD0，

∴|CD|2|CA|2|AB|2|BD|2a2b2c2，

所以，|CD|a2b2c2．

例2．已知平行六面体ABCDABCD中，AB4,AD3,AA5,BAD90，

BAADAA60，求AC的长．

解：|AC|2(ABADAA)2

|AB|2|AD|2|AA|22ABAD2ABAA2ADAA

423252243cos90245cos60235cos60

169250201585

所以，|AC|

例3．已知S是边长为1的正三角形所在平面外一点，且SASBSC1，M,N分别是85．

AB，SC的中点，求异面直线SM与BN所成角的余弦值．

1，

2111∵SMBN(SASB)(SNSB)(ab)(cb)

2222111 (acabbcb)

2221111111

(1)

22222221SMBN22，

∴cosSM,BN3|SM||BN|33222所以，异面直线SM与BN所成角的余弦值为．

3解：设SAa，SBb，SCc，∴abbcac【说明】设出空间的一个基底后，求数量积SMBN的时候目标就更加明确了，只要将SM

与BN都化为用基向量表示就可以了。本题中SM与BN的夹角是异面直线SM与BN所成角的补角．

例4．如图，长方体ABCDABC111D1中，ABBC4，E为AC11与B1D1的交点，F为BC1与BC1的交点，又AFBE，求：长方体的高BB1．

解：∵AFBE，∴AFBE(ABBF)(BB1B1E)

1212 [AB(BCBB1)][BB1(BCAB)]0

∴(2ABBCBB1)(2BB1BCAB)0

∴2|AB|2|BC|22|BB1|20，∴|BB1|28，

所以，所求高BB122．

【说明】本题从表面上看是求线段长度，但实际上却是充要条件AFBE的应用问题。

五、课堂练习：课本第35页第1、5题．

六、课堂小结：空间向量数量积的应用．

七、补充作业：

1．对于向量a、b、c和实数(

)．

A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a＝b，则a＝b或a＝－b

D．若a·b＝a·c，则b＝c

2．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G22214AFBE0λ，下列命题中的真命题是 分别是AB、AD、DC的中点，则下列向量的数量积等于a的是 (

)．

A．2BA·AC

→→

B．2AD·DB

C．2FG·AC

D．2EF·CB

π→→3．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉的值为 (

)．

3121A. B. C．－ D．0 2224．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝7，则cos〈a，b〉＝________．

12解析

将|a－b|＝7化为(a－b)＝7，求得a·b＝，再由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉21求得cos〈a，b〉＝. 85．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．

6．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积：

(1)BC·ED1；(2)BF·AB1

→→→→→→→→→→