3.1.3 空间向量的数量积运算课堂实录【2】

3.1.3

空间向量的数量积

教学目标

知识与技能

1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法；

2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法

3．能将立体几何问题转化为向量运算问题。

过程与方法

1．运用类比方法，经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程；

2．引导学生借助空间几何体理解空间向量数量积运算的意义．

情感、态度与价值观

1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；

2．培养学生空间向量的应用意识．

重点难点

教学重点：

1．空间向量的数量积运算及其运算律；

2．空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用．

教学难点：

1．空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用；

2．空间向量的数量积运算及其几何应用和理解．

教学过程

一、复习旧知：回顾平面向量数量积的定义及运算律（课件展示）

二、讲授新知：

1、

两个空间向量的夹角的定义

1）如图，已知两个非零向

量a,b.在空间任取一点O，

作OAa,OBb,则角AOB叫做向量a与b的夹角，记作：a,babaA B b

O

a,b＝b,a

被唯一确定了，并且

当a,b0时,a与b同向.当a,b时,a与b反向.

零向量与任意向量共线

2）

如果a,b,则称a与b互相垂直，并记作：ab范围：0a,b在这个规定下，两向量的夹角就

2例1、在正方体ABCD-A‘B’C‘D’

中，

求向量

分别与

,

,

,

,

的夹角？

2、两个向量的数量积

1）定义：

设OAa,则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模,记作：a

已知空间两个向量a,b，则abcosa,b叫做向量a,b的数量积，

记作：ab,即

ababcosa,b

注意：

①

个向量的数量积是数量，而不是向量. ②

向量与任意向量的数量积等于零

思考1:类比平面向量,你能说出ab的几何意义吗?

2. 空间向量的数量积的几何意义: 数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积.

思考2:

类比平面向量,你能说出空间向量数量积有哪些性质吗?

2)空间向量的数量积性质：对于非零向量

，有：

a,b①

a|a|

即

|a|a(求线段的长度); 222②

abab0(垂直的判断); ③

cosa,babab

(求角度). 3)空间向量的数量积满足的运算律

1)(a)b(ab)

2)ab

ba(交换律）3）a(

bc)abac(分配律）

ab)ca(bc)注意：数量积不满足结合律

（

例2、如图，在正三棱柱ABC-

中，若

AB2BB1,则AB1与BC1垂直？

A1B1C1ACB

例3、已知平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，求AC′的长．

例4、已知线段AB，BD在平面α内，BD⊥AB，线段AC⊥α，如果AB＝a，BD＝b，AC＝c，求C、D间的距离．

3、随堂练习：

1）已知a22,b2,ab2,则a与b的夹角大小为_____. 2

2）若向量

与

满足|

|=1，|

|=2，且

与

的夹角为

，则

=_____ 3）已知向量a,b满足a1,b2,ab3,则ab_____. 三、小结

1．知识：①

掌握空间向量的数量积公式及向量的夹角公式.

②

运用公式解决立体几何中夹角、距离(模)、垂直等的有关问题. 2．思想：①

比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力；

②

探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力.

③通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识. 四、作业：书P97

A组1、2、3（必做）

4（选做）

五、板书设计

3.1.3空间向量的数量积运算

1.数量积的定义: 2.数量积的几何意义:

3.探究数量积的性质: 4.探究数量积的运算律:

例1: 例2: