3.3.4 两条平行直线间的距离教学实录

3．3 直线的交点点坐标与距离公式

【课题】：3.3.4 两条平行直线间的距离 （适用于平行班）

【学情分析】：在上一阶段的学习中，已经学习了直线的方程以及点到直线的距离，学生具备了两条平行直线间的距离所必需的有关知识和方法。但由于我校生源差，相当一部分学生的数学基础不扎实，探究能力不强。

【教学目标】：

（1）知识与技能：理解将两平行线间的距离转化为点到直线的距离的思路；会求两平行直线间的距离；

能运用求两平行线间的距离的方法来解决一些数学问题. （2）过程与方法：在问题探究的过程中，让学生体会用代数的表达式来研究几何的思想方法，加深对距离的理解，培养学生分析问题解决问题的能力。

（3）情感态度与价值观：通过精心设计适宜的教学情境，让学生在师生和谐、互动的氛围中，轻松地、主动地掌握基本知识和基本技能；在问题探究的过程中，培养学生积极进行数学交流、勇于探索的科学精神。

【教学重点】：求两平行线间的距离的方法及其应用

【教学难点】：将两平行线间的距离转化为点到直线的距离时，如何选取恰当的点，以方便计算. 【课前准备】：Powerpoint或投影片

【教学过程设计】：

教学环节

一、复习引入

教学活动

练习1：

1．点P（0，5）到直线2x+1=0的距离为 . 2．已知点P（1，1）到直线y=2x+b的距离为1，则b= . 223．点P（x,y）在直线x+y-3=0上，则(x-1)+(y+2)的最小值为 . （答案：1.设计意图

为探究新知识做准备. 1；2.51或51；3.22）

2在学生练习、教师简单小结后，直接给出本节课的课题—两条平行直线间的距离

二、问题探究

问题 如何求平行线2x+3y-8=0与2x+3y=0间的距离？

学生活动：自主探究或小组内探讨. 教师引导：

1．两条平行线间的距离指的是什么？

2．如何将两平行线间的距离转化为点到直线的距离？

3．如何取点，可以使计算更简单些？

方法归纳：

（1）取直线2x+3y-8=0与坐标轴的交点A（4，0）或B（0，

鼓励学生充分利用自己已有知识进行大胆探索

8），然3后求点A或B到直线2x+3y=0的距离；

（2）取直线2x+3y-8=0上坐标为整数的点，如P（1，2），然后求点P到直线2x+3y=0的距离.

三、方法运用

练习2：

1．平行线3x+4y=0与3x+4y=10间的距离为 .

2．两直线x-2y+3=0与x-2y-2=0间的距离为 . 巩固知识，培养技3．已知点A（1，-2）和B（-1，3），点P是直线5x+2y+3=0上任意一点，能. 则△PAB的面积为 .

（答案：1.2；2.5；3.229）

四、例题评析

例1．已知直线l1:2x-7y-8=0,l2:6x-21y-1=0,l1与l2是否平行？若平行，

求l1与l2间的距离.

分析：要判定两直线是否平行，只需判定它们的斜率是否相等即可。

22

而直线l1的斜率k1，直线l2的斜率k2，因为k1k2，所以l1

77与l2平行。在直线l1上取点A（4，0），则点A到直线l2的距离就是直线

l1与l2间的距离.

深化对求两平行线22例2．求证：两平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0 (A+B0) 间的距间距离的方法的理解

C1C2离为d＝.

A2B22 证明： 由于A+B0，不妨设A0，则A（2C1，0）是直线Ax+By+C1=0A与X轴的交点，从而点A到直线Ax+By+C2=0的距离就是所求平行线间的距离，即

A(dC1)B0C2AAB22C1C2AB22. 上述结论可以作为公式在解题中应用.

五、拓展提高

练习3.

1．两平行线x+2y=0与ax-4y=2间的距离为 .

培养学生运用知识2．与直线2x+y-5=0平行且距离等于5的直线方程为 .

和方法去解决问题3．已知直线l到直线直线2x-y+2=0和2x-y+4=0的距离相等，则直线l的能力

的方程为

. 略解：

1．由两直线平行可求得a=-2，于是可求两平行线间的距离为5.

52。设所求直线方程为2x+y+C=0，则d故所求直线方程为2x+y=0或2x+y-10=0.

3．设所求直线方程为2x-y+C=0，则C555，解得C=0或-10。C25C45，解得C=3，故所求直线方程为2x-y+3=0.

六、小结

1．

将两平行线间的距离转化为点到直线的距离，体现了数学中的化归思想；

2．

将求两平行线间的距离转化为求点到直线的距离时，要恰当取点，以方便计算，如取直线与坐标轴的交点或坐标为整数的点；既可以在第一条直线上取点，也可以在第二条直线上取点；

3．

利用公式d＝

帮助学生巩固所学内容，形成知识网络

C1C2AB22，可以给我们解题带来很大方便;此时必须使两条直线方程中x、y的系数相同，否则就会出现错误.

七、作业

课本P110习题3.3：A组第10题，B组第4，9题

巩固所学知识

练习与测试

1．两直线x+1=0和x-2=0之间的距离为 .

2．两直线3x-4y+1=0和3x-4y+6=0之间的距离为 . 3．直线2x+y-5=0与直线2x+yb=0之间的距离为5，则b . 4．若两直线ax5y0和2x-3y=13平行，则它们之间的距离为 . 5．与直线12x-5y-5=0平行且距离等于1的直线方程为 . 6．已知直线L到直线直线2x+y+2=0和2x+y-4=0的距离相等，则直线L的方程为

. 7．若动点A(x1,y1)、B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动，则AB的中点P到原点距离的最小值为

. 8．已知点A（2，-3）和B（4，-1），若直线L与直线AB平行且距离为2，则直线L的方程为 .

9．已知正方形的中心为M（-1，0），正方形一边所在直线的方程为x+3y-2=0，求其它三边所在直线的方程. 10．两平行线l1、l2分别过点A（0，1）和B（5，0），若直线l1、l2的距离等于5，求这两条直线的方程.

答案或解析：

1.3；

2.1； 3.b=0或-10； 4.先由两直线平行求得a10，然后再求两直线的距离为13； 3 5.设所求直线方程为12x-5y+c=0，则12x-5y+8=0或12x-5y-18=0; |c5|12(5)221，解得c=8或c=-18,故所求直线方程为6. 设所求直线方程为2x+y +c=0, 则|c2|5|c4|5,解得c=-1,故所求直线方程为2x+y-1=0；

7.由题意可知AB的中点P在与直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0等距离的直线:x+y-6=0上，因此AB的中点P到原点距离的最小值就是原点到直线:x+y-6=0的距离，故所求距离的最小值为32；

8.

直线AB的斜率为1，设直线L的方程为x-y+c=0，则点A到直线L的距离c=-3或c=-7,所以直线L的方程为x-y-3=0，x-y-7=0；

9.设与直线x+3y-2=0平行的一边所在直线方程为x+3y+c=0，则|23c|22,解得|10c|10|102|10，解得c=4；设与直线x+3y-2=0垂直的一边所在直线方程为3x-y+b=0 ，则|30b|10|102|10,解得b=0或c=6, 故其它三边所在直线的方程分别为x+3y+4=0，3x-y=0 ，3x-y+6=0；

10.设平行线的斜率为k，则它们的方程分别为kxy10、kxy5k0。因为点A在直线l1上，所以点A到直线l2的距离也等于5，即12x-5y-60=0。

k015kk21解得k5，12，故所求直线方程为12x-5y+5=0、5