3.2.2 直线的两点式方程优秀获奖教案

第一节

直线的倾斜角与斜率、直线方程

考点

直线的斜率和倾斜角

高考试题

2017·全国卷Ⅰ·T20·12分

考查内容

以圆锥曲线为载体的直线斜率问题

核心素养

数学运算

数学运算

数学运算

2017·全国卷Ⅰ·T14·5分

直线的斜率和直线方程

直线方程

2016·全国卷Ⅲ·T16·5分

导数的几何意义与直线方程

直线方程与直线的斜率倾斜角在近几年的高考中多以中低档题出命题分析

现，主要考查基础知识和基本方法，往往会结合导数的几何意义，或线性规划进行考查.

1．直线的倾斜角

(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．

当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的取值范围为[0,180°). 2．直线的斜率

(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tan θ. y2－y1(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝. x2－x13．直线方程的几种形式

名称

点斜式

斜截式

条件

斜率k与点(x0，y0)

斜率k与截距b 方程

y－y0＝k(x－x0)

y＝kx＋b y－y1＝

y2－y1x－x1

x2－x1适用范围

不含直线x＝x0

不含垂直于x轴的直线

不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2) 两点式

两点(x1，y1)，(x2，y2)

截距式

截距a与b xy＋＝1

abAx＋By＋C＝

0(A2＋B2≠0)

不含垂直于坐标轴和过原点的直线

平面直角坐标系内的直线都适用

一般式

提醒：

(1)求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．

(2)根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围．

(3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．

(4)由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视判断B是否为0，当B＝0时，k不存在；A当B≠0时，k＝－. B

1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(

) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(

) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(

) (4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(

) (5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)√

2．(教材习题改编)一条直线过点A(2，－3)，并且它的斜率等于直线x＋3y＝0的斜率的2倍，则这条直线的方程为(

) A．x＋3y＋33－2＝0

C．x＋3y＋3＝0

解析：选B

直线x＋3y＝0的斜率为－B．2x＋3y＋33－4＝0 D．2x＋y－3＝0 323，则所求直线的斜率为k＝－.由点斜式3323得：y＋3＝－(x－2)，即：2x＋3y＋33－4＝0. 33．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(

) 1A．

33C．－

21B．－

32D．

3

a＋7＝2，解析：选B

依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有解得a＝－5，b＝－3，b＋1＝－2，

－3－11从而可知直线l的斜率为＝－. 37＋54．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．

5－3a－3解析：kAC＝＝1，kAB＝＝a－3. 6－45－4由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4. 答案：4 5．(教材习题改编)若直线ax＋my＋2a＝0(a≠0)过点(1，－3)，则该直线的斜率为________．

解析：把点(1，－3)代入方程ax＋my＋2a＝0得：a－3m＋2a＝0，所以m＝3a，aa3所以直线的斜率为k＝－＝－＝－. m33a答案：－3

3

直线的倾斜角与斜率

[明技法] 求倾斜角的取值范围的2个步骤及1个注意点

(1)2个步骤：

①求出斜率k＝tan α的取值范围；

②利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．

(2)1个注意点：

求倾斜角时要注意斜率是否存在．

[提能力] π，π的倾斜角的变化范围是(

) 【典例】

(1)直线2xcos α－y－3＝0α∈63ππA．6，3

ππC．4，2

ππB．4，3

π2πD．4，3

3π(2)若经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y等于________．

4ππ13，，∴cos α∈，，

解析：(1)k＝2cos α，α∈6322

1≤k≤3，∴1≤tan θ≤3(θ为倾斜角)．

ππ由于0≤θ＜π，∴≤θ≤. 43－3－2y－13π(2)由k＝＝tan

＝－1.得－4－2y＝2，

42－4∴y＝－3. 答案：(1) B

(2)－3