习题2.1优质课一等奖

求轨迹方程的常用方法

兴业高中：满健芳

方法一：用定义法求曲线轨迹

求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方程。

例1：已知ABC的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足5sinBsinAsinC,求点C的轨迹。

4【解析】由sinBsinA55sinC,可知bac10，即|AC||BC|10，满足椭圆的定义。4422'''xyx2y2令椭圆方程为，则，则轨迹方程为a5,c4b3211（x5)，图形'2'259ab为椭圆（不含左，右顶点）。

【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。

（1）

（2）

（3）

（4）

圆：到定点的距离等于定长

椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）

双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）

到定点与定直线距离相等。

【变式】

1:已知圆的圆心为M1，圆圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。

解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：。

，的圆心为M2，一动。

∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。

故所求轨迹方程为22

222:一动圆与圆O：xy1外切，而与圆C：xy6x80内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：

A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支

1

【解答】令动圆半径为R，则有|MO|R1，则|MO|-|MC|=2，由双曲线定义得，选D。

|MC|R13.ABC中，B，C 坐标为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，求点A的轨迹方程。

x2y2解：由题意可知，|AB|+|AC|=10，满足椭圆的定义。令椭圆方程为221，则由定义可知ab22a5,c3，则b4，得轨迹方程为xy1,ABC为三角形，故A，B，C不能三点共线。轨2516x2y2迹方程里应除去点(5,0).(5,0)，即轨迹方程为1(x5)

2516方法二：用直译法求曲线轨迹方程

此类问题重在寻找数量关系。

例2：

一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？

解

设M点的坐标为(x,y)

由平几的中线定理：在直角三角形AOB中，OM=11AB2aa,

22x2y2a,x2y2a2

M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周. 【点评】此题中找到了OM=1AB这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下列几2种情况：

1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。

2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。

3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。

4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法. 【变式2】:

动点P（x,y）到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即|PA|2），|PB|求动点P的轨迹方程？

【解答】∵|PA|=(x3)2y2,|PB|(x3)2y2

2

(x3)2y2|PA|代入2得2(x3)2y24(x3)24y2

|PB|(x3)2y2化简得（x－5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.

方法三：用参数法求曲线轨迹方程

此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。

例3．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。

【解析】

分析1：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。

解法1：设M（x，y），设直线l1的方程为y－4＝k（x－2），（k≠０）

由l1l2，则直线l2的方程为y4 l1与x轴交点A的坐标为(2 ∵M为AB的中点，

1(x2)

k244)，

，0)，

l2与y轴交点B的坐标为(0，kk42k12x2k (k为参数)

24k21y2k 消去k，得x＋2y－5＝0。

另外，当k＝0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程；

当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。

综上所述，M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。

分析2：解法1中在利用k1k2＝－1时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用△PAB为直角三角形的几何特性：

|MP|1|AB|

2 解法2：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y），

∵l1⊥l2，∴△PAB为直角三角形，

由直角三角形的性质，|MP| (x2)(y4)221|AB|

21·(2x)2(2y)2

23 化简，得x＋2y－5＝0，此即M的轨迹方程。

分析3：：设M（x，y），由已知l1⊥l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。

解法3：设M（x，y），∵M为AB中点，∴A（2x，0），B（0，2y）。

又l1，l2过点P（2，4），且l1⊥l2 ∴PA⊥PB，从而kPA·kPB＝－1，而kPA40，k22xPB42y

20442y·1，化简，得x2y50

22x2 注意到l1⊥x轴时，l2⊥y轴，此时A（2，0），B（0，4）

中点M（1，2），经检验，它也满足方程x＋2y－5＝0 综上可知，点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。

【点评】

1）解法1用了参数法，消参时应注意取值范围。解法2，3为直译法，运用了kPA·kPB＝－1，1|MP||AB|这些等量关系。。

2用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响

【变式3】过圆O：x2 +y2= 4 外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。

解法一：“几何法”

设点M的坐标为（x,y）,因为点M 是弦BC的中点，所以OM⊥BC, ２２

２2 22 2 所以|OM | ＋|ＭＡ|＝|ＯＡ|

，

即(x+y)+(x －４)+y=16 22 化简得：（x－2）+ y =4................................①

22 由方程

①

与方程x +y= 4得两圆的交点的横坐标为1，所以点M的轨迹方程为

22 （x－2）+ y =4 （0≤x＜1）。所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，

2为半径的圆在圆O内的部分。

解法二：“参数法”

设点M的坐标为（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直线AB的方程为y=k(x－4), 由直线与圆的方程得（1+k2）x2

－8k2x +16k2－4=0.......(*), x1x2y4k2由点M为BC的中点，所以x=....(1) ,

又OM⊥BC，所以k=...(2) x21k2由方程（1）（2）消去k得（x－2）2+ y2 =4,又由方程（*）的△≥0得k2 ≤1,所以x＜1. 3所以点M的轨迹方程为（x－2）2+ y2 =4 （0≤x＜1）所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，

2为半径的圆在圆O内的部分。

4

方法四：用代入法等其它方法求轨迹方程

x2y20)为定点，求线段AB的中点M的

例4.

点B是椭圆221上的动点，A(2a，ab轨迹方程。

分析：题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。

【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0）

则由M为线段AB中点，可得

x02axx02x2a

即点B坐标可表为（2x－2a，2y）

2y02yy00y2222222 又点B(x0，y0)在椭圆x2y21上 x0y01从而有(2x2a)(2y)1，

aba2b2a2b24(xa)24y2 整理，得动点M的轨迹方程为21

2ab【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系

【变式4】如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程

y【解析】： 设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，

QB|AR|=|PR| 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理 R在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2) 又|AR|=|PR|=(x4)y所以有(x－4)+y=36－(x+y), 即x2+y2－4x－10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，

Q点即在所求的轨迹上运动

222222AoPxx4y0, ,y122x42yx4代入方程x2+y2－4x－10=0,得(－10=0 )()24222设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程

方法五、交轨法

求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。

5

例5 、抛物线y24px(p0)的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。

2yB4pyA【解析】点A、B在抛物线y4px(p0)上，设A（，B（所以k=

,y)OA,yA)ByA4p4p22kOB=4p,由OA垂直OB得kOA kOB

= -1，得yAyB= -16p2

,又AB方程可求得yB2yAyByA，即（yA+yB）y--4px--yAyB=0,把 yAyB= -16p2代入得AB方程yyA2(x)24pyAyB4p4p（yA+yB）y--4px+16p2 =0 ① 又OM的方程为

yyAyBx ② 4P222由①②消去得yA+yB即得x2y24px0， 即得(x2p)y4p。

所以点M的轨迹方程为(x2p)2y24p2，其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p的圆,除去点（0，0）。

评析：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。

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