3.1直线的倾斜角与斜率（通用）名师教学设计2

太康县第一高级中学高一数学必修②导学案

§3.1.1直线的倾斜角与斜率

学习目标：①正确理解直线的倾斜角和斜率的概念；

②理解直线的倾斜角的唯一性及存在性；

③掌握斜率公式的推导过程，会求直线的斜率. 重、难点：直线的倾斜角与斜率的对应关系（重点），二者之间的转化及斜率公式的应

用（难点）

高考考点：已知倾斜角求斜率，已知斜率求倾斜角. 学法指导：通过对直线倾斜角和斜率的学习，体会用代数方法刻画直线斜率的过程；通

过坐标法的引入，学会联系、对应转化等辩证思维；初步了解数形结合、分

类讨论的数学思想方法. 学习过程：

一、课前准备

（预习课本P82---P86，找出疑惑之处），并填写下列知识要点

1、倾斜角与斜率的概念

倾斜角

定

义

当直线l与x轴

时，我们取

作为基准，x轴

与

直线l

之间所成的角叫做直线l的倾斜角. 当直线l与x轴平行或重合时，规定倾斜角为0°

直线l的倾斜角（90°）的

表示或记法



斜

率

ktan

2、倾斜角与斜率的对应关系

图

示

y

lyl

yl

lxyOOxOxOx

倾斜角

（范围）

斜

率

（范围）

0

0 090

大于0



斜率不存在

90180

小于0

新课导学：

学习探究一、直线的倾斜角及斜率的概念

导引

对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些条件确定呢？

1

太康县第一高级中学高一数学必修②导学案

问题1、我们知道，经过两点有且只有（确定）一条直线，那么，经过一点P的直线l的

位置能确定吗？

问题2、过一点P可以作无数条直线，它们都经过点P，这些直线区别在哪里呢？

问题3、怎样描述直线的倾斜程度呢？

问题4、依据倾斜角的定义，你能得出倾斜角的取值范围吗？

问题5、任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线倾斜角一定不相同吗？只有倾斜角能

确定直线的位置吗？你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素

是什么？

问题6、日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？

问题7、如果我们使用“倾斜角”这个概念表示“坡度（比）”，那么“坡度（比）”等于

什么呢？

小结：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母k表示，

即ktan. 由此可知，一条直线l的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存

在，倾斜角是90°的直线没有斜率.

例1、给出下列命题：

①任意一条直线都有倾斜角；②任意一条直线都有斜率；

③若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为ktan；

④若一条直线的斜率为tan，则它的倾斜角为；

⑤直线的倾斜角越大，它的斜率就越大.

其中正确的命题序号是

.

例2、填写下表

倾斜角

斜率k

0°

30°

45°

60°

120°

135°

150°

2

太康县第一高级中学高一数学必修②导学案

学习探究二、

直线的斜率公式

导引：已知倾斜角就可以求直线的斜率，我们还知道：两点确定一条直线，如果知道直线上的任两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，（其中x1x2），怎样确定该直线的斜率呢？该直线的斜率与这两点的坐标又有什么联系呢？

问题1、如下图1、图2，设直线P1P2的倾斜角为（90o），当直线P1P2的方向（即

从P1指向P2的方向）向上时，任给直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，（其中

x1x2），点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线交于点Q，那

么Q点的坐标是什么？

y

P2

P2

y

P1



Q

Q



P1







O

x

O

x

图1

图2 问题2、根据上图，当为锐角时，怎样用P1、P2的坐标计算tan？

当为钝角时呢？

问题3、当P2P1的方向向上时，tany2y1成立吗？为什么？

x2x1

问题4、当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？

问题5、当直线P1P2与y轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？

小结：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，（x1x2）的直线的斜率公式为：

k

y2y1. x2x13

太康县第一高级中学高一数学必修②导学案

例1、已知A（3,

2），B（- 4,

1），C（0，-1），求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.

例2、证明三点A（2，-3），B（4,

3），C（5,

6）在同一直线上.

例3、已知点A（-2,

3），B（3,

2），P（0，-2），过点P的直线l与线段AB有公共点，

求直线l的斜率k的取值范围.

课堂小结：1、注意直线的斜率和倾斜角的转化

2、利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分

类讨论，斜率不存在的情况在解题时容易忽视，引起重视.

3、三点共线问题，已知三点A、B、C，如直线AB，AC的斜率相同，则三

点共线.

当堂检测：1、下列说法中：

（1）任何一条直线都有唯一的倾斜角；（2）任何一条直线都有唯一的斜率；

（3）倾斜角为90°的直线不存在；

（4）倾斜角为0°的直线只有一条.

其中正确的命题序号是

. 2、在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率为0，则AC，AB所

在直线的之和为

（

）

A. 23

B. 0

C.3

D.23

3、求经过A（m，3），B（1,2）两点的直线的斜率，并指出倾斜角的取值范围.

4、,已知a > 0，若平面内三点A（1，-a），B（2，a2），C（3，a2）共线，求a的值.

4