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第一章

常用逻辑用语

小结

忠信中学

数学科组

杨勇灶

命题及其关系

通过选择题、填空题的方式设置一些多知识点、知识跨度大的试题，考查命题及其关系，以及对命题真假的判断．

[考点精要]

四种命题的相互改写

交换原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的逆命题；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是原命题的逆否命题．

[注意]

互为逆否命题的两个命题，它们具有相同的真假性．

[典例]

将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题并判断它们的真假．

(1)垂直于同一平面的两条直线平行；

(2)当mn<0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根．

[解]

(1)将命题写成“若p，则q”的形式为：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．

它的逆命题、否命题和逆否命题如下：

逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面．(假命题) 否命题：若两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行．(假命题) 逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面．(真命题) (2)将命题写成“若p，则q”的形式为：若mn<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．

它的逆命题、否命题和逆否命题如下：

逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn<0.(假命题) 否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．(假命题) 逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.(真命题) [类题通法]

简单命题真假的判断方法

[题组训练]

1．命题“若函数f(x)＝x2－ax＋3在[1，＋∞)上是增函数，则a≤2”的否命题(

) A．与原命题同为假命题

C．为假命题

B．与原命题一真一假

D．为真命题

解析：选D

原命题显然为真，原命题的否命题为“若函数f(x)＝x2－ax＋3在[1，＋∞)上不是增函数，则a>2”，为真命题，故选D. 2．下列命题中为真命题的是(

) A．命题“若a>b，则3a>3b”的逆命题

B．命题“若x2≤1，则x≤1”的否命题

C．命题“若x＝1，则x2－x＝0”的否命题

11D．命题“若a>b，则a

解析：选A

对于A，逆命题是“若3a>3b，则a>b”，是真命题；对于B，否命题是“若x2>1，则x>1”，是假命题，因为x2>1⇔x>1或x<－1；对于C，否命题是“若x≠1，11则x2－x≠0”，是假命题，因为当x＝0时，x2－x＝0；对于D，逆否命题是“若≥，则aba≤b”，是假命题，如a＝1，b＝－1.故选A. 3．下列说法中错误的个数是(

) ①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数”

②命题“若x>1，则x－1>0”的否命题是“若x≤1，则x－1≤0”

③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”

④命题“x＝－4是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“x＝－4不是方程x2＋3x－4＝0的根”

A．1

C．3

B．2

D．4 解析：选C

①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是－4，则它不是方程x2＋3x－4＝0的根”. 充分条件与必要条件

充要条件是数学的重要概念之一，在数学中有着非常广泛的应用，在高考中有着较高的考查频率，其特点是以高中数学的其他知识为载体考查充分条件、必要条件、充要条件的判断．

[考点精要]

充分条件、必要条件与充要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．

[典例]

(1)(2017·浙江高考)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的(

) A．充分不必要条件

C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

ππ1θ－<”是“sin θ<”的(

) (2)(2017·天津高考)设θ∈R，则“12122A．充分而不必要条件

C．充要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

[解析]

(1)因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0⇔S4＋S6>2S5. πππθ－<，得0<θ<，

(2)法一：由12126π117πππθ－<”．

故sin θ<.由sin θ<，得－＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z，推不出“12122266ππ1θ－<”是“sin θ<”的充分而不必要条件．

故“12122πππππ11πππθ－<⇒0<θ<⇒sin θ<，而当sin θ<时，取θ＝－，－－＝>. 法二：12126226612412ππ1θ－<”是“sin θ<”的充分而不必要条件．

故“12122[答案]

(1)C

(2)A [类题通法]

充要关系的判断方法

(1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假．

(2)等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．

[题组训练]

1．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(

) A．充分不必要条件

C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A

若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选A. 2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β

”是“α∥β

”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B

当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β⇒/ α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β

”是“α∥β

”的必要不充分条件．

3．对于任意实数x，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的(

) A．充分不必要条件

C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B

当x＝1.8，y＝0.9时，满足|x－y|<1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，即〈x〉≠〈y〉；当〈x〉＝〈y〉时，必有|x－y|<1，所以“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的必要不充分条件，故选B. 含有逻辑联结词、量词的命题

主要以选择题、填空题为主，考查含有逻辑联结词的命题的真假，特称命题、全称命题的真假，以及全称命题，特称命题的否定．

[考点精要]

1．含有逻辑联结词的命题与集合之间的关系

命题形式

集合运算

2．全称命题、特称命题的否定

全称命题“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x0∈M，綈p(x0)”，特称命题“∃x0∈M，p(x0)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”．

[典例]

(1)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是(

) A．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0 B．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0 C．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0 D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0 (2)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：

p且q A∩B＝{x|x∈A且x∈B} p或q A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 非p

∁UP＝{x|x∈U且x∉P}

2π0，；

p1：|a＋b|>1⇔θ∈32π，π；

p2：|a＋b|>1⇔θ∈3π0，；

p3：|a－b|>1⇔θ∈3π，π. p4：|a－b|>1⇔θ∈3其中的真命题是(

) A．p1，p4

C．p2，p3

B．p1，p3

D．p2，p4

[解析]

(1)已知全称命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0，则綈p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0，故选C. 2π10，.当θ(2)由|a＋b|>1可得：a2＋2a·b＋b2>1，∵|a|＝1，|b|＝1，∴a·b>－.故θ∈322π122220，时，a·∈b>－，|a＋b|＝a＋2a·b＋b>1，即|a＋b|>1；由|a－b|>1可得：a－2a·b32π1，π，反之也成立．

＋b2>1，∵|a|＝1，|b|＝1，∴a·b<.故θ∈32[答案]

(1)C

(2)A [类题通法]

1．判断含有逻辑联结词的命题真假的方法

(1)先确定简单命题p，q. (2)分别确定简单命题p，q的真假．

(3)利用真值表判断所给命题的真假．

2．判断含有量词的命题真假的方法

(1)全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证

p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．

(2)特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题为假．

(3)全称命题的否定一定是特称命题，特称命题的否定一定是全称命题．首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定．

[题组训练]

π1．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直2π线x＝对称，则下列判断正确的是(

) 2

A．p为真

C．p∧q为假

B．綈q为假

D．p∨q为真

解析：选C

由题意p与q均为假命题，故p∧q为假．

2．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________________．

解析：这里给出的是一个特称命题，其否定是一个全称命题．等于的否定是不等于．

答案：对任意的x∈R，都有x2＋2x＋5≠0 3．已知p：点M(2,3)在直线ax－y＋1＝0上，q：方程x2＋y2＋x＋y＋a＝0表示圆，p∨q是假命题，求实数a的取值范围．

解：当p是真命题时，2a－3＋1＝0，即a＝1，

所以当p是假命题时，a≠1；

1当q是真命题时，1＋1－4a>0，即a<，

21所以当q是假命题时，a≥. 2又p∨q是假命题，所以p，q均为假命题，

1所以a≥且a≠1，

21所以实数a的取值范围是2，1∪(1，＋∞)．

1．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则(

) A．綈p：∃x∈A,2x∈B

C．綈p：∃x∈A,2x∉B

B．綈p：∃x∉A,2x∈B

D．綈p：∀x∉A,2x∉B

解析：选C

命题p是全称命题：∀x∈M，p(x)，则綈p是特称命题：∃x∈M，綈p(x)．故选C. 2．命题p：若ab＝0，则a＝0；命题q：若a＝0，则ab＝0，则(

) A．“p或q”为假

C．p真q假

B．“p且q”为真

D．p假q真

解析：选D

由条件易知：命题p为假命题，命题q为真命题，故p假q真．从而“p或q”为真，“p且q”为假．

3．下列命题中，真命题是(

) A．∃x0∈R，ex0≤0 B．∀x∈R,2x>x2

aC．a＋b＝0的充要条件是b＝－1

D．a>1，b>1是ab>1的充分条件

解析：选D

∵∀x∈R，ex>0，∴A错；∵函数y＝2x与y＝x2的图象有交点，如点(2,2)，此时2x＝x2，∴B错；∵当a＝b＝0时，a＋b＝0，而0作分母无意义，∴C错；a>1，b>1，由不等式可乘性知ab>1，∴D正确．

4．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的(

) A．充分不必要条件

C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A

先证“α⊥β

⇒a⊥b”．∵α⊥β，α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，∴b⊥α.又∵a⊂α，∴b⊥a；再证“a⊥b⇒/ α⊥β”．举反例，当a∥m时，由b⊥m知a⊥b，此时二面角α-m-β可以为(0，π]上的任意角，即α不一定垂直于β.故选A. 5．下列有关命题的说法错误的是(

) A．命题“若x2－1＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－1≠0”

B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件

C．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0}中只有一个元素，则k＝1 2D．对于命题p：∃x0∈R，使得x20＋x0＋1<0，则綈p：∀x∈R，均有x＋x＋1≥0 解析：选C

A显然正确；当x＝1时，x2－3x＋2＝0成立，但x2－3x＋2＝0时，x＝1或x＝2，故“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件，B正确；若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0}中只有一个元素，则k＝0或k＝1，故C错误；D显然正确．

6．已知p：m－1

) A．(3,5) C．(－∞，3)∪(5，＋∞)

B．[3,5]

D．(－∞，3]∪[5，＋∞) 解析：选B

p：m－12，m－1≥2，能得到q，而由q得不到p，所以可得或解得3≤m≤5. m＋1≤6m＋1<6.

7．命题“在△ABC中，如果∠C＝90°，那么c2＝a2＋b2”的逆否命题是__________________________________．

答案：在△ABC中，若c2≠a2＋b2，则∠C≠90°

28．设p：x>2或x<；q：x>2或x<－1，则綈p是綈q的________条件．

32解析：綈p：≤x≤2.綈q：－1≤x≤2. 3因为綈p⇒綈q，但綈q⇒/ 綈p. 所以綈p是綈q的充分不必要条件．

答案：充分不必要

9．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．

解析：命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”为真，

则a≤x2，x∈[1,2]恒成立，所以a≤1. 命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”为真，

则“4a2－4(2－a)≥0，

即a2＋a－2≥0”，解得a≤－2或a≥1. 若命题“p且q”是真命题，

则实数a的取值范围是(－∞，－2]∪{1}．

答案：(－∞，－2]∪{1} 10．已知p：x2－8x－20＞0，q：x2－2x＋1－a2＞0，若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．

解：p：x2－8x－20＞0⇔x＜－2或x＞10，

令A＝{x|x<－2或x>10}，

∵a＞0，∴q：x＜1－a或x＞1＋a，

令B＝{x|x<1－a或x>1＋a}，

由题意p⇒q且q⇒/ p，知AB，

a＞0，应有1＋a<10，1－a≥－2

a＞0，或1＋a≤10，1－a>－2

⇒0＜a≤3，

∴a的取值范围为(0,3]．

－x－1，x<－2，11．已知函数f(x)＝

1x＋3－2≤x≤.2(1)求函数f(x)的最小值；

(2)已知m∈R，命题p：关于x的不等式f(x)≥m2＋2m－2对任意m∈R恒成立；q：函数y＝(m2－1)x是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

解：(1)作出函数f(x)的图象，可知函数f(x)在(－∞，－2)上单调递减，1－2，上单调递增，故f(x)min＝f(－2)＝1. 在2(2)对于命题p，m2＋2m－2≤1，

故－3≤m≤1；

对于命题q，m2－1>1，

故m>2或m<－2.

由于“p或q”为真，“p且q”为假，则p与q一真一假．

－3≤m≤1，①若p真q假，则

－2≤m≤2，解得－2≤m≤1.

m>1或m<－3，②若p假q真，则

m<－2或m>2，

解得m<－3或m>2. 故实数m的取值范围是

(－∞，－3)∪[－2，1]∪(2，＋∞)．