3.4 生活中的优化问题举例公开课教案（教学设计）

1．4 生活中的优化问题举例（一）

三维教学目标

知识与技能：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会利用导数知识解决一些生活中简单的实际问题。-------面积、容积最大（最小）问题. 过程与方法：解决优化问题的关键是建立函数模型,再利用导数作为工具，求最值。

情感、态度与价值观：引导学生实现自我探索,培养学生的探究精神。

教学重点：利用导数知识解决一些生活中简单的优化问题。

教学难点：对一些生活中简单的优化问题建立数学模型。

教学过程：

一、复习前节

(一)、如何判断函数的单调性？

（二）、如何求函数的极值与最值？

1.求函数极值的一般步骤

2.求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：

二、导入新课

(三)、优化问题

生活中经常遇到求利润最大、产量最大、用料最省、成本最低、效率最高等实际问题，这些问题通常称为优化问题。(解决优化问题的本质就是求函数的最值。) 通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的

优化问题。 三、

例题讲解

例1、海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张2贴的海报，要求版心面积为128dm，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？

分析：

思考1：版心面积为定值128dm2，海报的面积是否也为定值？

128+2)思考2：设版心的高为x，则海报的面积为多少？

(x+4)(x

x海报四周空白的面积为多少？

(x+4)(128+2)-128x

思考3：设海报四周空白的面积为S(x)，则S(x)的最简表达式如何？

其定义域是什么？

512(x)=2x++8,x>0思考4：如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？S x解法一（导数）：

解法二（均值不等式）：

四、课堂练习

练习1：将一段长为12cm的铁丝围成一个矩形，则这个矩形面积的最大值为多少？

解法一（导数）：

解法二（均值不等式）：

结论：周长为定值的矩形中，正方形的面积最大。

练习2:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?

解：设箱底边长为xcm，则箱高h60x，

223箱子容积V(x)x2h60xx(0＜x＜60)．

2V'(x)60x32x令V'(x)60x3x20,

22解得

x0 (不合题意，舍去) x40,

当x∈(0,40)时,V'(x)>0;当x∈(40,60)时,V'(x)<0. ∴函数V (x)在x=40处取得极大值,这个极大值就是函数V (x)的最大值. 26040)16000(cm)3

V(40)40(23答：当箱箱底边长为40cm时,箱子容积最大,最大值为16000cm . 在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使

f '(x)＝0 的情形，若函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值． 五、课堂小结

1.解决优化问题的基本思路是：

2.解决生活中的优化问题的基本步骤

(1)、建立实际问题的数学模型，即列出函数关系式

yf(x)

，并写出定义域；

（2）、求函数的导数

f(x)

，求出极值点; （3）、确定最大（小）值；

（4）、作答。

六、布置作业

课本P37 习题1.4A组

1、2、5 新学案 P22、23、24 七、板书设计