3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件配套优秀教案设计

3.2.2

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）

学习目标：1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．(重点、难点) [自

主

预

习·探

新

知] 导数的运算法则

(1)设两个函数f(x)，g(x)可导，则

和的导数

差的导数

积的导数

商的导数

[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x) [f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x) [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) f′xgx－fxg′xfx′＝(g(x)≠0) [gx]2gx(2)常数与函数的积的导数

[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数) 1思考：根据商的导数的运算法，试求函数y＝x的导数．

1′×x－1×x′11[提示]

y′＝x′＝＝－2xx2. [基础自测] 1．思考辨析

(1)若f(x)＝a2＋2ax＋x2，则f′(a)＝2a＋2x. f′x1(2)fx′＝－(f(x)≠0)．

[fx]2

(

) (

) (

) (3)运用法则求导时，不用考虑f′(x)，g′(x)是否存在．

[答案]

(1)×

(2)√

(3)×

2．函数y＝x·ln x的导数是(

) 1A．x

B.x

C．ln x＋1

D．ln x＋x

C

[y′＝(x)′×ln x＋x×(ln x)′＝ln x＋1.] 3．函数y＝x4＋sin x的导数为(

)

A．y′＝4x3

C．y′＝4x3＋sin x

B．y′＝cos x

D．y′＝4x3＋cos x

D

[y′＝(x4)′＋(sin x)′＝4x3＋cos x．] 94．函数y＝x的导数为__________.

9′×x－9×x′99y′＝－x2

[y′＝＝－2xx2] [合

作

探

究·攻

重

难]

利用导数的运算法则求导数

求下列函数的导数：

1xx(1)y＝2＋sin cos ；

x223(2)y＝xx2－2x－6＋2；

(3)y＝cos xln x；

x(4)y＝ex. xx1[解]

(1)y′＝x2＋sin 2cos 2′

1＝(x－2)′＋2sin x′

1＝－2x－3＋2cos x

21＝－x3＋2cos x. 3(2)y′＝x3－2x2－6x＋2′

3＝(x3)′－2x2′－(6x)′＋(2)′

＝3x2－3x－6. (3)y′＝(cos xln x)′

＝(cos x)′ln x＋cos x(ln x)′

cos x＝－sin xln x＋x.

x′e－xe′x(4)y′＝ex′＝

ex2ex－xex1－x＝e2x＝ex. [规律方法]

利用导数运算法则的策略

(1)分析待求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式．

(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．

(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．

[跟踪训练] 1．(1)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝(

) A．－e

C．1

B．－1 D．e xx1B

[f′(x)＝2f′(1)＋x，则f′(1)＝2f′(1)＋1，所以f′(1)＝－1.] (2)求下列函数的导数．

cos x①y＝x3·ex.②y＝x.

[解]

①y′＝(x3·ex)＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′

＝3x2·ex＋x3·ex＝ex(x3＋3x2)．

cos x②y′＝x′

cos x′·x－cos x·x′＝

x2＝－x·sin x－cos xxsin x＋cos x＝－. 2xx2

导数运算法则的应用

(1)设曲线y＝

x＋1在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则ax－1

等于(

) 11A．2

B.2

C．－2

D．－2 (2)若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为__________．

1[思路探究]

(1)切线与直线ax＋y＋1＝0垂直⇒切线的斜率为a.(2)切线与直线2x－y＋1＝0平行⇒切线的斜率为2. x＋1′×x－1－x＋1×x－1′－2x＋1′＝[解析]

(1)y′＝＝，

x－12x－12x－11则y′|x＝3＝－2，又切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，

11故a＝－2，所以a＝－2，故选D. (2)设P(x0，y0)，由y′＝(xln x)′＝ln x＋1，得

y′|x＝x0＝ln x0＋1，由题意知ln x0＋1＝2 解得x0＝e，y0＝e，故P(e，e) [答案]

(1)D

(2)(e，e) [规律方法]

关于求导法则的综合应用

(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．

(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．

易错警示：分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上则要设出切点．

[跟踪训练] 2．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．

[解]

因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，

所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b. 令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，

又因为f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3. 令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b.

又因为f′(2)＝－b，

3所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－2. 35所以f(x)＝x3－2x2－3x＋1，f(1)＝－2. 又因为f′(1)＝2a＝－3，

所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为

5y－－2＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0. 

利用导数求曲线上的点到某直线的距离最值问题

[探究问题] 若曲线C上存在一点P到直线l的距离最短，则曲线C在点P处的切线和直线l有怎样的关系？

提示：平行

设点P是曲线y＝ex＋1上任意一点，求点P到直线y＝x－1的最小距离．

[思路探究]

与直线y＝x－1平行且与曲线y＝ex＋1相切的切线上的切点即为所求．

[解]

设与直线y＝x－1平行的直线与曲线y＝ex＋1相切于点P(x0，y0)，

由y′＝ex得y′|x＝x0＝ex0，由题意知ex0＝1，

解得x0＝0，代入y＝ex＋1得y＝2，所以P(0,2)，

故点P到直线y＝x－1的最小距离为

|0－2－1|32d＝＝2. 2[规律方法]

利用导数解决曲线上的点到某

直线的距离最值问题的解题策略

利用导数可解决与距离、面积相关的最值问题，解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．

[跟踪训练] 3．求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.

[解]

依题意知抛物线y＝x2与直线x－y－2＝0平行的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x20)．

1∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝2，

11∴切点坐标为2，4，∴所求的最短距离为

112－4－272d＝＝8. 2[当

堂

达

标·固

双

基] 1．下列运算中正确的是(

) A．(ln x－3sin x)′＝(ln x)′－3′·(sin x)′

B．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋bx′

sin x′－x2′sin xC．x2′＝

x2D．(cos x·sin x)′＝(sin x)′cos x＋(cos x)′cos x

B

[根据导数的运算法则知B正确．] 2．已知f(x)＝x3＋3x＋ln 3，则f′(x)为(

) A．3x2＋3x

C．3x2＋3xln 3

1B．3x2＋3xln 3＋3

D．x3＋3xln 3 C

[f′(x)＝(x3)′＋(3x)′＋(ln 3)′＝3x2＋3xln 3，故选C.] 3．函数f(x)＝xex的导函数f′(x)＝__________. (1＋x)ex

[f′(x)＝(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.] 14．直线y＝2x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________. ln 2－1

[设切点为(x0，y0)，

111∵y′＝x，∴2＝x，

01∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝2×2＋b，∴b＝ln 2－1.] π15．设f(x)＝ax－bsin x，且f′(0)＝1，f′3＝2，求a，b的值. 2

[解]

f′(x)＝2ax－bcos x，则

f′0＝－b＝1，π2aππ1f′＝－bcos 3＝2，33b＝－1，即2a11π－b＝22，3

b＝－1，解得

a＝0.