3.3.1 两条直线的交点坐标课堂实录【2】

《3.3.1两直线的交点坐标》教学设计

教学内容

人教版新教材

高二数学

第二册

第三章

第三节

第1课

教材分析

在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的解的相互关系。引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题。由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。

学情分析

1.学生思维活跃，参与意识、自主探究能力较强，故采用启发、探究式教学。

2.学生的抽象概括能力和空间想象力有待提高，故采用多媒体辅助教学。

教学目标

1.知识与技能

（1）掌握两直线交点坐标和二元一次方程组的解之间的联系；

（2）能利用二元一次方程组的解的个数来判断两直线位置关系；(两条直线的相交、平行和重合，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解) （3）能利用两直线方程的对应系数关系来判断两直线位置关系.

2.情感态度与价值观

（1）通过研究两直线交点和二元一次方程组的解的联系，培养学生的数形结合能力；

（2）通过研究两直线位置关系与两直线方程对应系数的联系，培养学生的分类思想. 教学重、难点

1.重点：能利用二元一次方程组的解的个数来判断两直线位置关系；会求交点坐标；

2.难点：能利用两直线方程的对应系数关系来判断两直线位置关系.

教学理念

学生是学习和发展的主体，教师是教学活动的组织者和引导者. 教学过程

（一）温故知新

1

直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式的形式特点和适用范围：

1.点斜式

2.斜截式

3.截距式

直线的方程

y-y0=k (x-x0) (k存在) y=kx+b (k存在) xy1 (ab0)

ab特殊点

过(x0, y0)点

过(0,b)点

过(a,0)和

(0,b)点

局限性

表斜线或水平线

表斜线或水平线

表不过原点斜线

4.两点式

yy1xx1x1x2

y2y1x2x1y1y2过(x1, y1)和

(x2, y2)点

表斜线

yy1x2x1xx1y2y1

5.一般式

Ax+By+C=0(A、B不同时为0）

可表示任何直线

可表示任何直线

（二）创设情景

用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。

课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？

（三）探求新知

已知两直线

l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，如何判断这两条直线的关系？ 教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。l1与l2

几何元素及关系 代数表示

点A A（a，b）

直线l

点A在直线l上

直线l1与l2的交点A l：Ax+By+C=0

课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出用二元一次方程组的解的个数来判断两直线位置关系的方法？

（1）若二元一次方程组有唯一解，则l1与l2相交；方程组的解即交点的坐标；

（2）若二元一次方程组无解，则l1与l2平行；

2

（3）若二元一次方程组有无数解，则l1与l2重合。

（四）深入研究

两直线位置关系与两直线方程的系数有何关系？

kk2ABA2B1ABCl1与

l2平行1(斜率k存在)111(A2B2C20)12A2B2C2b1b2B1C2B2C1；

kk2ABA2B1ABCl1与

l2重合1(斜率k存在)111(A2B2C20)12A2B2C2b1b2B1C2B2C1；

l1与

l2相交k1k2(斜率k存在)A1B1(A2B20)A1B2A2B1A2B2；

1A2B1B20. 特别地：l1l2k1k21(斜率k存在)A说明：在平面几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的情况，而在解析几何中，由于两个不同的方程可以表示同一条直线，我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究．

（五）拓展应用

例题1：求下列两直线交点坐标：l1 ：3x+4y-2=0；l2：2x+y +2=0 . 3x4y20解：解方程组

2x2y206y4

得 x=-2，y=2 -525所以l1与l2的交点坐标为M（-2，2），如图

教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才进行讲解。

x-2-4课后思考：当

变化时，方程 3x+4y-2+(2x+y+2）=0表示何图形，图形有何特点？

例2 判断下列各对直线的位置关系。如果相交，求出交点坐标。

（1）

l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0 （2）

l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0 （3）

l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0

3

解：（1）13A1B1l1与

l2相交；

13A2B2解方程组xy05得xy 33x3y1005533

所以l1与l2的交点坐标为(,);

（2）314A1B1C1l1与

l2平行；

621A2B2C2（3）

ABC345111l1与

l2重合 . 6810A2B2C2（六）自主学习

练习：课本114页第1，2题，

课本120页第2题。

（七）归纳整理

1、两直线位置关系与二元一次方程组的解

（1）若二元一次方程组有唯一解，则l1与l2相交；方程组的解即交点的坐标；

（2）若二元一次方程组无解，则l1与l2平行；

（3）若二元一次方程组有无数解，则l1与l2重合。

2、两直线位置关系与两直线方程的系数

已知两直线

l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0， kk2ABA2B1ABCl1与

l2平行1(斜率k存在)111(A2B2C20)12A2B2C2b1b2B1C2B2C1；

kk2ABA2B1ABCl1与

l2重合1(斜率k存在)111(A2B2C20)12A2B2C2b1b2B1C2B2C1；

l1与

l2相交k1k2(斜率k存在)A1B1(A2B20)A1B2A2B1A2B2；

特别地：l1l2k1k21(斜率k存在)A1A2B1B20.

（八）课后巩固

课本120页第1、3、5题。

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