复习参考题板书设计及设计说明

高三数学第二轮复习专题——立体几何专题复习

1、如图，已知面ABC⊥面BCD，AB⊥BC，BC⊥CD，且AB=BC=CD，设AD与面ABC所成角为，AB与面ACD所成角为β，则与β的大小关系为

（A）＜β

（B）=β

（C）＞β

（D）无法确定

2、下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是

．．．SPPPSPSSPPSSPQQQQRRSPSRRRRPPPQRRPQQPQPPRPSSQRRQQRQQQQSSSSRRRRSS

Q

a，则三棱锥P－BDQ2

（A）

（B）

（C）

（D）

3、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q是对角线A1C上的点，且PQ=的体积为

333333a

（B）a

（C）a

（D）无法确定

3618244、已知球的内接三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为3cm，2cm和3cm，则此球的体积为

（A）

（A）1632123163cm3

（B）cm3

（C）cm3

（D）cm3

33335、如图，在一根长11cm，外圆周长6cm的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如

果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为

（A）

61cm

（B）157cm

（C）1021cm

（D）1037cm 6、设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题：

①

若ab，a，b，则b//；②若a//, ，则a

；

③若a，，则a//或a；④若ab，a，b，则

其中正确命题的个数为

( )

A．0

B．1

C．2

D．3 7、正三棱锥S—ABC的侧棱长和底面边长相等，如果E、F分别为SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成角为

（ ）

A．900

B．600

C．450

D．300

8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：

①BM与DE平行；

②CN与BE是异面直线；

③CN与BM成60°角

④DM与BN垂直

以上四个命题中，正确的是

（

）

A．①②③

B．②④

C．②③④

D．③④

9．将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（

）

A．3

2B．2

3C．

6D．4

310．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，则A1C与DE所成的角的余弦为（

）

A．15

15B．10

15C．30

6D．

10

10

11．有3个命题

（1）底面是正三角形，其余各个面都是等腰三角形的棱锥是三棱锥；

（2）各个侧面都是等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；

（3）底面是正三角形，相邻两侧面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。

其中假命题的个数是

A．0

B．1

C．2

（

）

D．3 12、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （

）

A.

122 B.

22 C.

12

D.

1

22213、、在空间四边形ABCD各边上分别取E、F、G、H四点，如果EF和GH能相交于点P，那么

（A）点P必在直线AC上

（B）点P必在直线BD上

（C）点P必在平面ABC内

（D）点P必在平面上ABC外

14、设长方体的三条棱长分别为a，b，c，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，则 （A）111

abc114112 （B） （C） （D）

41121115、若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ABC组成图形可能是：（

）

A A

P P

B C B

（A） （B）

A

A C

P P

C B B

（C） （D）

C 16、已知异面直线a、b成0角，过空间一点p，与a、b也都成0角的直线，可以作（

）

A．1条

B．2条

C．3条

D．4条

17.若a，b，l是两两异面的直线，a与b所成的角是则的取值范围是

A．[，l与a、l与b所成的角都是，

3

C．[56,6]

B．[,] 3253,6] D．[,] 6218、对于平面M与平面N, 有下列条件: ①M、N都垂直于平面Q; ②M、N都平行于平面Q; ③

M内不共线的三点到N的距离相等; ④

l, M内的两条直线, 且l // M, m // N; ⑤

l, m是异面直线,且l // M, m // M; l // N, m // N, 则可判定平面M与平面N平行的条件的个数

A．1 B．2 C．3 D．4 19.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则四棱锥B－APQC的体积为

（A）VVVV

（B）

（C）

（D）

2345BA1PB1QACBC1CAEFB1A1C1DABC

20.棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为

a3a3a3a3

（A）

（B）

（C）

（D）

3461221.如图，在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC=900，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在

（A）直线AB上

（B）直线BC上

（C）直线AC上

（D）△ABC内部

22.如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=距离为2，则该多面体的体积为

3，EF与面AC的2

（A）915

（B）5

（C）6

（D）

2223.(天津卷6)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，

D1B1C1O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的

中点。那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于

A1DE

(A)41015

(B)

(C)5552

(D)3COBC1B1C

FA24.(天津卷10)如图，在长方体ABCD的两个平行截面将长方体分成三部分，

其体积分别记为V1若V1分别过BC、A1B1C1D1中，AB6,AD4,AA13，A1D1D1F1VAEA1DFD1，V3VB1E1BC1F1C。

A1DEFE1:V2:V31:4:1，则截面A1EFD1的面积为

10

(B)83

(C)413

(D)16

A

(A)4B

25.北纬45圈上有甲、乙两地，它们分别在东经50与东经140，则甲、乙两地的球面距离是（地球半径为R）

A．R

12

B．R

13

C．R

14

D．12R

226.（福建卷16）如图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器。当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大。

27、已知∠ACB=90º，S为平面ABC外一点，且∠SCA=∠SCB=60º，则直线SC和平面ABC所成的角为

. 28、点A是二面角-l-内一点，AB⊥于B，AC⊥于C，设AB=3，AC=2，∠BAC=60，则点A到棱l的距离是

. 29.由图(1)有关系

VSPA'B'PA'PB'，则由图(2)有关系PA'B'C'

。

SPABPAPBVPABC

B

B

B'

B'

C

C'

DEPP

A'

(1)

A

P

(2)

A'

A

ABC

30.如图，在四棱锥P－ABCD中，E为CD上的动点，四边形ABCD为

时，

体积VP－AEB恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）．

31.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1， E、F分别为BC与A1D1的中点， （1）

求直线A1C与DE所成的角；

（2）

求直线AD与平面B1EDF所成的角；

(3)求面B1EDF 与

面ABCD所成的角。

在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2N分别为AB、SB的中点. （Ⅰ）证明：AC⊥SB；

（Ⅱ）求二面角N—CM—B的大小；

（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.

3，M、

32.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。

（1）证明PA//平面EDB；

（2）证明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。

PEFDCAB

33．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，侧棱长为2，底面△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=3，D是侧棱CC1上一点，且BD与底面所成角为30°.

（1）求点D到AB所在直线的距离.

（2）求二面角A1－BD－B1的度数.

答案

ADADADCDCADDAAB 16、满分12分。如图，以C为原点建立空间直角坐标系Oxyz。

（I）解：依题意得B0,

1,

0，N1,

0,

1，∴

BN1020121023

（II）解：依题意得A11,

0,

2，B0,

1,

0，C0,

0,

0，B10,

1,

2。

∴

BA11,

1,

2，CB10,

1,

2。BA1CB13。BA16，CBCB15

∴

cosBA1CB1

BA11BA11CB11030 （III）证明：依题意得C10,

0,

2，M12,

12,

2，A1B1,

1,

2，C11111M2,

2,

0

，

∴

A1BC1M2200，∴A1B

C1M ——12分

17、本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力，满分12分。

方法一：

（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO。

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点

在PAC中，EO是中位线，∴PA // EO

而EO平面EDB且PA平面EDB，

所以，PA // 平面EDB

PEFDOABC

（2）证明：

∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD，∴PDDC

∵PD=DC，可知PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，

∴DEPC。

①

同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC。

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC。

而DE平面PDC，∴BCDE。

②

由①和②推得DE平面PBC。

而PB平面PBC，∴DEPB

又EFPB且DEEFE，所以PB⊥平面EFD。

（3）解：由（2）知，PBDF，故EFD是二面角C—PB—D的平面角。

由（2）知，DEEF,PDDB。

设正方形ABCD的边长为a，则PDDCa,BD2a

PBPD2BD23a，

PCPD2DC22a

DE12PCa。

22在RtPDB中，DFPDBDa2a6a。

PB33a2aDE32在RtEFD中，sinEFD，∴EFD。

3DF26a3所以，二面角C—PB—D的大小为。

3方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DCa。

（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG。

依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,aa,)。

22a2a,0)且

2∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为(,aaPA(a,0,a),EG(,0,)。

22∴PA2EG，这表明PA//EG。

而EG平面EDB且PA平面EDB，∴PA//平面EDB。

zPFEDGAxBCy

（2）证明；依题意得B(a,a,0)，PB(a,a,a)。又DE(0,aa,)，故22a2a2PBDE00。

22∴PBDE。

由已知EFPB，且EFDEE，所以PB平面EFD。

（3）解：设点F的坐标为(x0,y0,z0)，PFPB，则

(x0,y0,z0a)(a,a,a)。

从而x0a,y0a,z0(1)a。所以

FE(x0,aa11y0,z0)(a,()a,()a)。

2222由条件EFPB知，FEPB0，即

111a2()a2()a20，解得

223aa2a,)，且

∴点F的坐标为(,333

aaaaa2aFE(,,)，FD(,,)

366333a2a22a20

∴PBFD333即PBFD，故EFD是二面角C—PB—D的平面角。

a2a2a2a2∵FEFD，且

91896a2a2a26a2a24a26|FE|a，|FD|a，

9363669993FEFD|FE||FD|a2666aa631。

2∴cosEFD∴EFD3。

所以，二面角C—PB—D的大小为。

3AA1所在直线为Oz轴，以经过18、解：（1）如图，以点A为坐标原点O，以AB所在直线为Oy轴，以原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系。由已知，得A(0,0,0),B(0,a,0),A1(0,0,2a),C1(（2）坐标系如上。取3aa,,2a)4分

22aA1B1的中点M，于是有M(0,,2a),连AM,MC1有

2且

MC1(3a,0,0)2AB(0,a,0),AA1(0,0,2a)

所以，由于MC1AA10,MC1AA10

MC1面ABB1A1

∴AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角。

19．（12分）

①∵CC1⊥面ABC，

∠B=90°，∴DB⊥AB，

∴DB的长是点D到AB所在直线的距离，

∠DBC是BD与底面所成的角，即∠DBC=30°，∵BC=3，

∴BD=BC3cosDBCcos30=2 .

……（6分）

②过B1作B1E⊥BD于E，连A1E，∵BB1⊥AB，AB⊥BC，且BB1∩BC=B，∴AB⊥平面BCC1B1，∵A1B1∥AB，∴A1B1⊥平面BCC1B1，∵B1E⊥BD，∴A1E⊥BD，即∠A1EB1是面

A1BD与面BDC1B1所成二面角的平面角.

连

B1D . ∵BC=

∵CC1=2，∴D为CC1的中点

∴S△BDB1=B1E·2=3，BD=2，∴CD=1 . 12B1E·BD=12SBCC1B1

∴12BC·CC1

即12

123·2 Rt△A1B1E中，tan∠A1EB1=

∴B1E=3在A1B1133,A1EB1arctan

B1E3363（12分）

3aaa29AC1(a,,2a),AM(0,,2a),AC1AM02a2a222244而AC13aa2a23a,AM442292aa33242aa,cosAC1,AM34223aa22所以，AC1与AM所成的角，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为300

2007年高三数学第二轮专题复习——立体几何

一、立体几何考试要求：

(1)理解平面的基本性质（以前是掌握平面的基本性质），会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。

(2)掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离。

(3)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理，掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，掌握三垂线定理及其逆定理。

(4)掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。

(5)会用反证法证明简单的问题。

(6)了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念。

(7)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。

(8)了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。

(9)了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。

二、立体几何关键点

1．三个平行、三个垂直

（1）平行转化

线线平行线面平行面面平行

（2）垂直转化

线线垂直线面垂直面面垂直

2．三种角：

①异面直线所成的角θ∈(0, π/2]；

②

直线与平面所成的角θ∈[0, π/2]；

③二面角θ∈[0,π]；解答题中―作—证—算，必须交代哪一个角是所求的角或者是已知的角；对求距离问题也是如此。

3．三个距离与体积表面积：

C 例1:斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC

(1)若D是BC的中点，求证

AD⊥CC1；

A (2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证

截面MBC1⊥侧面BB1C1C；

(3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由

C1 B1

A1

例2：（2006年陕西卷）如图，,l,A,B,点A在直线l上的射影B 为A1,点B在l上的射影为B1.已知AB2,AA,BB12.求：

11

（I）直线AB分别与平面,所成角的大小；

（II）二面角A1ABB1的大小。

A1AB1B（第19题）例3：已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，DAB90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC=1AB=1，M是PB的中点。

2（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。

例4：如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.

（Ⅰ）求BF的长；（Ⅱ）求平面AEC1F与平面ABCD所成的二面角的大小。（III）求点C到平面AEC1F的距离.

立体几何专题练习题一

（

）1、已知直线l⊥平面α，直线m平面β，有下列四个命题：①α∥βl⊥m；②α⊥β

l∥m；③l∥m α⊥β；④l⊥m α∥β.

其中正确的两个命题是

A、①与②

B、①与③

C、②与④

D、③与④

(

)2、四边形ABCD是A120的菱形，绕AC将该菱形折成二面角BACD，记异面直线AC、BD所成角为，AD与平面ABC所成角为，当最大时，二面角BACD等于

2

20（ ）3．如图，将Rt△ABC沿斜边上的高AD折成120的二面角

A.

B.

C.arctan2

D.arctanC-AD-C，若直角边AB=43，AC=46，则二面角A-BC-D的正切值为

A．2

B．

3

222 C． D．1 24（ ）4．下列各图是正方体或三棱锥，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的的图象共有

．．．

P ·

S

·P ·

S

··

R ·

R P ·

·

S ·

R P ·

·

S ·

Q

·

Q ·

Q 111·

R ·

Q

Ａ．０个

Ｂ．１个

Ｃ．２个

Ｄ．3个

5、已知正三棱柱ABCABC底面边长是10，高是12，过底面一边AB，作与底面ABC成60角的截面面积是______。

6（06天津）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1．若二面角0CABC1的大小为60，则点C到平面ABC1的距离为______．

7(07安徽省“江南十校”)如图，正方体ABCDA1BC11D的棱长为1，1E为A1B1的中点。则下列五个命题①点E到平面ABC1D1的距离为；2②直线BC与平面ABC1D1所成的角等于45；③空间四边形ABCD1在正

方体六个面内的射影围成的图形中，面积最小的值为⑤二面角ABD1C的大小为110；④BE与CD1所成角为arcsin；2105；其中真命题是______（写出所有真命题的序号）

68、如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三1角形，棱EF//BC．（1）证明FO//平面CDE；2（2）设BC3CD，证明EO平面CDF．

9：如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的

正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．

（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小；

（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离

DCAFB

E

10、斜三棱柱ABC—A1B1C1中，已知侧面A1C⊥底面ABC，底面△ABC是边长为2的正三角形，A1A = A1C，A1A⊥A1C. （Ⅰ）求直线A1A与底面ABC所成的角；

C1 A1 （Ⅱ）求截面A1BC与底面ABC所成二面角的大小；

（Ⅲ）求点C1到平面A1BC的距离. B1

A

B 11、如图，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都等于2，D在AC1上， F为BB1中点，且FDAC1．

（1）试求AD的值；（2）求二面角FAC1C的大小；

DC1C A A1

D C C1

B1

（3）求点C1到平面AFC的距离

B F 立体几何专题练习题二

1、棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1被以A为球心，AB为半径的球相截，则被截形体的表

面积为（ ）

A．577π B．π C．π D．π

4842、将边长为3的正四面体以各顶点为顶点各截去(使截面平行于底面)边长为1的小正四面体，所得几何体的表面积为_____________ . 3．在正三棱锥SABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MNAM，若侧棱SA23，则正三棱锥SABC外接球的表面积是（

）

A．12

B．32

C．36

D．48

4、已知ABCD是同一球面上的四点，且每两点间距离相等，都等于2，则球心到平面BCD的距离是（

）

A．6 3

B．6 6

C．6 12

D．6

185、正方体ABCDA1B1C1D1，E,F分别是AA1，CC1的中点，P是CC1上的动点（包括端点）过E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是

（

）

A、线段C1F

B、线段CF

C、线段CF和点C1

D、线段C1F和一点C 6、P为ABC所在平面外一点，PA、PB、PC与平面ABC所的角均相等，又PA与BC垂直，那么ABC的形状可以是

。①正三角形②等腰三角形③非等腰三角形④等腰直角三角形

7．ΔABC是边长为2的正三角形，BC∥平面α，A、B、C在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为

A′、B′、C′,若ΔA′B′C′为直角三角形，BC与α间的距离为5,则A到平面α的距离为_______.

8．下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面。

a

a a 2aa a

a

a a a a

（1）请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；

（2）若SA面ABCD，E为AB中点，求二面角E-SC-D的大小；

（3）求点D到面SEC的距离。

9．如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2，底面△ABC为等腰0直角三角形，∠ACB=90，AC=2，D为AA1中点。①求异面直线AB与C1D所成的角（用反三角表示）；

②若E为AB上一点，当E在AB上什么位置时，有A1E⊥C1D；

③在②的条件下，求点D到平面B1C1E的距离。

2a

10．如图四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG平面ABCD，垂足为G，G1在AD上且AGGD，BGGC，GBGC2，E是BC的中点，四面体PBCG的体积38为. 3（1）求异面直线GE与PC所成角的大小；

（2）求点D到平面PBG的距离；

（3）若F点是棱PC上的一点，且DFGC，求

一、

PF的值. FC