1.2.3 空间几何体的直观图教案设计（一等奖）

1.2.3

空间几何体的直观图

学习目标

1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图(重点).2.用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图(难点)．

预习教材P16－P19完成下列问题：

知识点1

斜二测画法

1．斜二测画法

斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．

2．平面图形直观图的画法及要求

【预习评价】

1．相等的角在直观图中还相等吗？

提示

不一定．例如正方形的直观图为平行四边形．

2．空间几何体的直观图是唯一的吗？

提示

不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不相同．

知识点2

空间几何体直观图的画法

1．画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴．

2．画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面．

3．画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．

4．成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．

【预习评价】

(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系会变化．(×) (2)建立z轴的一般原则是让z轴过空间图形的顶点．(√)

题型一

平面图形的直观图的画法

【例1】

画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．

解

画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.

1(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝OE，以E′为中点2画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD．

(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．

规律方法

画水平放置的平面图形的直观图的技巧：

(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．

(2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定．

(3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同．

【训练1】

用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图．

解

(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴．

(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°. 1在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝OA，连接A′B′，2A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．

题型二

空间几何体的直观图

【例2】

如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．

解

(1)作出长方体的直观图ABCD－A1B1C1D1，如图1所示；

(2)再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立x′轴、y′轴、z′轴，如图2所示，在z′上取点V′，使得V′O的长度为棱锥的高，连接V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱锥的直观图，如图2；

(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图3.

规律方法

空间几何体的直观图的画法：

(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出．

(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向．

(3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致．

【训练2】

有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图．

解

(1)先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示；

(2)过正六边形的中心O′建立z′轴，画出正六棱锥的顶点V′，在z′轴上截取O′V′＝3 cm，如图②所示；

(3)连接V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如图③所示；

(4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示．

互动探究

题型三

直观图的有关应用

【探究1】

如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．

解

(1)画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′. (2)过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′；

(3)连接AB，BC，△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图．

【探究2】

如图是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．

解

画法：(1)画轴．

如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.

(2)画两底面．用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中的相应高度．过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面A′B′C′D′.再在z轴上截取O′P，使O′P等于三视图中的相应高度．

(3)成图．连接A′A，B′B，C′C，D′D，PA′，PB′，PC′，PD′，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②. 【探究3】

如图，四边形O′A′B′C′是梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，求梯形OABC的面积S′.

解

设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h.C′B′＝CB，O′A′＝OA．过C′作C′D′⊥O′A′于D′，则C′D′＝2h. 212由题意知C′D′·(C′B′＋O′A′)＝S，即h(C′B′＋O′A′)＝S. 24原直角梯形面积为

14SS′＝·2h(CB＋OA)＝h(C′B′＋O′A′)＝＝22S. 22即梯形OABC的面积为22S. 规律方法

(1)由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．

由此可得：直观图面积是原图形面积的2倍．

4(2)当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应几何体的直观图．注意用实线表示看得见的部分，用虚线表示看不见的部分，画完直观图后还应注意检验．

课堂达标

1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是(

) A．原来相交的仍相交

C．原来平行的仍平行

B．原来垂直的仍垂直

D．原来共点的仍共点

解析

根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直．

答案

B 2．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是(

)

解析

根据斜二测画法可知，此直观图的平面图形可能是C．

答案

C 3．已知等边三角形ABC的边长为a，那么等边三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积为(

) A．C．32a

462a

8B．D．32a

862a

16解析

法一

建立如图①所示的平面直角坐标系xOy.如图②所示，建立坐标系13x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，由直观图画法，知A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝24a.过点C′作C′D′⊥O′x′于点D′，则C′D′＝1166的面积是S＝·A′B′·C′D′＝·a·a＝a2. 2281626O′C′＝a.所以△A′B′C′28

法二

S△ABC＝答案

D 4．如图，是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的面积是________．

S△A′B′C′3222236a，而＝，所以S△A′B′C′＝S△ABC＝×a2＝a2. 4444416S△ABC

解析

由图象中可知O′B′＝4，则对应三角形AOB中，OB＝4.又和y′轴平行的线1段的长度为4，则对应三角形AOB的高为8.所以△AOB的面积为×4×8＝16.故答案为：216. 答案

16 5．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．

解析

由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10. 答案

10 课堂小结

1．斜二测画法中的“斜”和“二测”

(1)“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°. (2)“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．

2．斜二测画法中的建系原则

在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等．即使尽量多的点或线落在坐标轴上．

3．直观图中“变”与“不变”

(1)平面图形用其直观图表示时，一般来说，平行关系不变．

(2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)．

(3)有些线段的度量关系也发生变化．因此图形的形状发生变化，这种变化，目的是使图形富有立体感．

基础过关

1．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是(

) A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形

B．正方形的直观图为平行四边形

C．梯形的直观图不是梯形

D．正三角形的直观图一定为等腰三角形

解析

由于直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°.当线段与x轴平行时，在直观图中长度不变且仍与x轴平行，因此答案为B．

答案

B 2．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于(

) A．45°

C．90°

B．135°

D．45°或135°

解析

因∠A的两边分别平行于x轴、y轴，故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°，故选D．

答案

D 3．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是(

)

解析

可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．

答案

C 4．利用斜二测画法得到：

①三角形的直观图是三角形；

②平行四边形的直观图是平行四边形；

③正方形的直观图是正方形；

④菱形的直观图是菱形．

以上结论中，正确的是________(填序号)．

解析

斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．

答案

①②

5．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．

解析

由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5. 答案

2.5 6．如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．

解析

画出直观图，则B′到x′轴的距离为答案

2

22122·OA＝OA＝. 22427.如图正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________．

解析

由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，

所以OB＝2 cm，对应原图形平行四边形的高为：22 cm，

所以原图形中，OA＝BC＝1 cm，AB＝OC＝222＋12＝3 cm，

故原图形的周长为：2×(1＋3)＝8 cm，故答案为：8 cm. 答案

8 cm 能力提升

8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个

几何体是(

)

A．三棱锥

C．四棱锥

B．三棱柱

D．四棱柱

解析

根据三视图的特点及与直观图的关系可知该几何体是一个放倒的直三棱柱，所以选B．

答案

B 9．梯形A1B1C1D1(如图所示)是一水平放置的平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥y′2轴，A1B1∥x′轴，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝1，则平面图形ABCD的面积是(

) 3

A．5 C．52 B．10 D．102 解析

A1B1∥x′轴，A1D1∥y′轴，根据斜二测画法规则可知，该图形还原成平面图形时，A1B1，C1D1长度不变，A1D1长度变为原来的2倍，且∠A1D1C1变为∠ADC＝90°.该直3观图还原成平面图形后如图所示，该平面图形为直角梯形，其中AB＝2，CD＝AB＝3，AD2＝2，∴S梯形ABCD＝2＋3×2＝5. 2

答案

A 10．用斜二测画法画边长为2的正三角形的直观图时，如果在已知图形中取的x轴和正三角形的一边平行，则这个正三角形的直观图的面积是________．

解析

如图△A′B′C′是边长为2的正三角形ABC的直观图，则A′B′＝2，C′D′13为正三角形ABC的高CD的一半，即C′D′＝×3＝，则高C′E＝C′D′·sin 45°22＝326166×＝，∴三角形△A′B′C′的面积为×2×＝. 224244

故答案为：6. 4

答案

6

411．如图所示，ABCD是一平面图形的水平放置的斜二测直观图，在斜二测直观图中，ABCD是一直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y轴平行，若AB＝6，DC＝4，AD＝2，则这个平面图形的实际面积是________．

1解析

由题意，S梯形ABCD＝(AB＋CD)·AD＝10，

2S＝4S梯形ABCD＝202. 2故答案为202. 答案

202 12．如图所示，由下列几何体的三视图画出它的直观图．

解

(1)画轴．画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示．

(2)画底面．按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE. (3)画侧棱．过点A，B，C，D，E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取

AA′，BB′，CC′，DD′，EE′都等于正视图的高．

(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，去掉辅助线，改被挡部分虚线，如图②所示．

13．(选做题)用斜二测画法得到一水平放置的直角三角形ABC如图所示，其中AC＝1，∠ABC＝30°，试求原三角形的面积．

解

如图所示，作AD⊥BC于点D，在BD上取一点E，使DE＝AD．由AC＝1可知，BC＝2，AB＝3，AD＝36，AE＝. 22

由斜二测画法，知B′C′＝BC＝2，A′E′＝2AE＝6，

11所以S△A′B′C′＝B′C′·A′E′＝×2×6＝6. 22