3.1.2 导数的概念教学内容

第2课时

导数的运算法则

学习目标

1.了解求导法则的证明过程.2.掌握函数的和、差、积、商的求导法则.3.能够运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．

知识点一

函数和、差的导数

1已知f(x)＝x，g(x)＝. x思考1

f(x)，g(x)的导数分别是什么？

1答案

f′(x)＝1，g′(x)＝－2. x思考2

若h(x)＝f(x)＋g(x)，I(x)＝f(x)－g(x)，那么h′(x)，I′(x)分别与f′(x)，g′(x)有什么关系？

11x＋

答案

∵Δy＝(x＋Δx)＋－x＋Δxx－Δx＝Δx＋，

xx＋Δx∴Δy1＝1－. Δxxx＋ΔxΔx0∴h′(x)＝lim

→Δy1－1＝1－12. ＝lim

xx＋ΔxΔxΔx→0x1同理，I′(x)＝1＋2. x梳理

和、差的导数

[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．

特别提醒：(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算．

(2)[c(x)]′＝cf′(x)．

(3)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．

知识点二

函数积、商的导数

1．函数积的导数

[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．

2．函数商的导数

fx′＝f′xgx－fxg′x(g(x)≠0)．

gx[gx]2

1．f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(

×

) 1ex2．f(x)＝x，则f′(x)＝x.(

×

) e＋1e＋13．函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．(

×

)

类型一

利用导数四则运算法则求导

例1

求下列函数的导数．

2x3－3x＋x＋1x2＋1(1)y＝；(2)y＝2；

x＋3xx2(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)；(4)y＝xsin x－. cos x考点

导数的运算法则

题点

导数乘除法则的混合运用

－解

(1)∵y＝2x－3x2＋x1＋x2，

3213353232－23x∴y′＝＋x－x－x. 2212x2＋1′x2＋3－x2＋1x2＋3′(2)方法一

y′＝

x2＋322xx2＋3－2xx2＋14x＝＝2. 22x＋3x＋32x2＋1x2＋3－22方法二

y＝2＝2＝1－2，

x＋3x＋3x＋32－2y′＝1－x2＋3′＝2′

x＋3－2′x2＋3－－2x2＋3′＝

x2＋32＝4x. x＋322(3)方法一

y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23.

方法二

∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5) ＝x3＋9x2＋23x＋15，

∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23. 2(4)y′＝(xsin x)′－cos x′

2′cos x－2cos x′＝x′sin x＋x(sin x)′－

cos x22sin x＝sin x＋xcos x－2. cosx反思与感悟

(1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．

(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．

(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．

跟踪训练1

求下列函数的导数．

ex(1)y＝x＋log3x；(2)y＝cos xln x；(3)y＝. sin x2考点

导数的运算法则

题点

导数乘除法则的混合运用

解

(1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′

＝2x＋1. xln 3(2)y′＝(cos xln x)′＝(cos x)′ln x＋cos x(ln x)′

cos x＝－sin xln x＋. xxe(3)y′＝sin x

ex′·sin x－ex·sin x′＝

2sinxex·sin x－ex·cos xexsin x－cos x＝＝. sin2xsin2x类型二

导数运算法则的综合应用

命题角度1

利用导数求函数解析式

ln x例2

(1)已知函数f(x)＝＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；

x

(2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcos x. 考点

导数的应用

题点

导数的应用

1－ln x解

(1)由题意得f′(x)＝＋2f′(1)，

x21－ln 1令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)，即f′(1)＝－1. 1ln xln e1所以f(x)＝－2x，得f(e)＝－2e＝－2e，

xeef(1)＝－2，

1由f(e)－f(1)＝－2e＋2<0，得f(e)

e(2)由已知f′(x)＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′

＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′

＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′

＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x

＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x. 又∵f′(x)＝xcos x，

a－d＝0，－c＝0，即a＝1，b＋c＝0，a－d－cx＝0，∴ax＋b＋c＝x，

解得a＝d＝1，b＝c＝0. 反思与感悟

解决此类题目的前提是熟练应用导数的运算法则．

跟踪训练2

已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3ln x，则f′(1)等于(

) 23A．－3

B．2e

C.

D.

1－2e1－2e考点

导数的应用

题点

导数的应用

答案

D 3解析

∵f′(x)＝2exf′(1)＋，

x令x＝1，得f′(1)＝2ef′(1)＋3，

3∴f′(1)＝. 1－2e命题角度2

与切线有关的问题

2－cos xπ例3

(1)设曲线y＝在点2，2处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝________. sin x考点

导数的应用

题点

导数的应用

(2)若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为________．

考点

导数的应用

题点

导数的应用

答案

(1)1

(2)(e，e) sin2x－2－cos xcos x1－2cos x解析

(1)y′＝＝，

sin2xsin2xπ1－2cos 2π当x＝时，y′＝＝1，

22πsin21直线x＋ay＋1＝0的斜率是－，

a1由题意－＝－1，所以a＝1. a(2)设P(x0，y0)，

则y'|xx＝ln x0＋1＝2，

0∴x0＝e，则y0＝e 则P点坐标为(e，e)．

反思与感悟

(1)与切线有关的问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．

(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．

(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．

跟踪训练3

设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．

考点

导数的应用

题点

导数的应用

答案

4

解析

因为曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，由导数的几何意义知g′(1)＝2，又因为f(x)＝g(x)＋x2，所以f′(x)＝g′(x)＋2x⇒f′(1)＝g′(1)＋2＝4，所以y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为4. 1．下列运算中正确的是(

) A．(ln x－3sin x)′＝(ln x)′－3′·(sin x)′

B．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋bx′

C.sin x2x′＝sin x′－x2′x2

D．(cos x·sin x)′＝(sin x)′cos x＋(cos x)′cos x

考点

导数的应用

题点

导数的应用

答案

B ＝ex2．对于函数f(x)x2＋ln x－2kx，若f′(1)＝1，则k等于(

) A.e2

B.e3

C．－e2

D．－e3

考点

导数的应用

题点

导数的应用

答案

A 解析

∵f′(x)＝exx－212kx3＋x＋x2，

∴f′(1)＝－e＋1＋2k＝1，解得k＝e2，

故选A. 3．设曲线y＝x＋1x－1在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于(

A．2

B.12

C．－12

D．－2 考点

导数的应用

题点

导数的应用

答案

D

)

x＋1′x－1－x＋1x－1′－2解析

y′＝＝，

2x－1x－12∴y′|x＝3＝－212＝－，

23－1x＋11∴曲线y＝在点(3,2)处的切线斜率为－，

2x－11－×(－a)＝－1，∴a＝－2. 由题意得24．已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．

考点

导数的应用

题点

导数的应用

答案

3 解析

由题意得f′(x)＝(2x＋3)ex，则得f′(0)＝3. b5．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在x点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．

考点

导数的应用

题点

导数的应用

答案

－3 bb解析

y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－2，

xx7直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－. 2由题意得b74a－＝－42，则a＋b＝－3. b4a＋＝－5，2

a＝－1，解得

b＝－2，

求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.

一、选择题

1．下列求导运算正确的是(

) A.x＋3x′＝1＋3x2

B．(log12x)′＝xln 2

C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2xsin x

考点

导数的应用

题点

导数的应用

答案

B 解析

选项A，3x＋x′＝1－3x2，故错误；

选项B，(logx)′＝12xln 2，故正确；

选项C，(3x)′＝3xln 3，故错误；

选项D，(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x，故错误．

故选B. x2＋a22．函数y＝x(a>0)在x＝x0处的导数为0，那么x0等于(

) A．a

B．±a

C．－a

D．a2

考点

导数的运算法则

题点

导数除法法则及运算

答案

B －a2a2解析

∵y′＝1x2，y'|xx＝1－2＝0，∴x0＝±a. 0x03．已知物体的运动方程为s＝t2＋3t(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为(A.194

B.174

C.154

D.134

考点

导数的应用

)

题点

导数的应用

答案

D 3313解析

∵s′＝2t－2，∴s′|t＝2＝4－＝. t44π4．若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于(

) 2A．－2

B．－1

C．1

D．2 考点

导数的应用

题点

导数的应用

答案

D 解析

∵f′(x)＝sin x＋xcos x，

由题意知f′π2·a－2＝－1，

∴a＝2. 5．若函数f(x)＝exx在x＝x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值等于(A．0

B．1 C.12

D．不存在

考点

导数的应用

题点

导数的应用

答案

C

∵f′(x)＝xex－ex解析x2，

由题意知f′(x0)＋f(x0)＝0，

即x0ex0－ex0x2＋ex0＝0，解得x10x00＝2. 6．若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(2)x＋m，则(

) A．f(0)

B．f(0)＝f(5) C．f(0)>f(5)

D．f(0)≥f(5) 考点

导数的应用

题点

导数的应用

答案

C 解析

∵f(x)＝x2＋2f′(2)x＋m，

)

∴f′(x)＝2x＋2f′(2)，

∴f′(2)＝2×2＋2f′(2)，∴f′(2)＝－4. ∴f(x)＝x2－8x＋m，

∴f(0)＝m，f(5)＝25－40＋m＝－15＋m. ∴f(0)>f(5)．

17．在下面的四个图象中，其中一个图象是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a≠0)的导函数y3＝f′(x)的图象，则f(－1)等于(

)

A.11713

B．－3

C.3

D．－53或3

考点

导数的应用

题点

导数的应用

答案

B 解析

∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，

∴导函数f′(x)的图象开口向上．

又∵a≠0，∴f′(x)不是偶函数，

其图象不关于y轴对称，

故其图象必为③. 由图象特征知f′(0)＝0，且对称轴－a>0，

∴a＝－1，则f(－1)＝－113－1＋1＝－3，故选B. 二、填空题

8．设f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，若h(x)＝fx＋2gx，则h′(5)＝________.

考点

导数的运算法则

题点

导数除法法则及运算

答案

5

16解析

∵f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，

f′xgx－[fx＋2]g′x又h′(x)＝，

[gx]2f′5g5－[f5＋2]g′5∴h′(5)＝

[g5]2＝3×4－5＋2×15＝. 4216ππ的值为________．

9．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f44考点

导数的应用

题点

导数的应用

答案

1 π解析

∵f′(x)＝－f′4sin x＋cos x，

ππ×2＋2，

∴f′＝－f′4422π得f′4＝2－1. ∴f(x)＝(2－1)cos x＋sin x，

π∴f4＝1. 10．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________．

考点

导数的应用

题点

导数的应用

答案

3x－y＋1＝0 解析

y′＝ex＋xex＋2，k＝y′|x＝0＝e0＋0＋2＝3，所以切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0. 11．已知f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，则f′(0)＝________. 考点

导数的运算法则

题点

导数乘法法则及运算

答案

120 解析

因为f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，

所以f′(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x[(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)]′，

所以f′(0)＝1×2×3×4×5＝120. 三、解答题

12．若曲线y＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．

考点

导数的应用

题点

导数的应用

1解

∵y＝x2－ax＋ln x，∴y′＝2x－a＋，

x1由题意可知存在实数x>0使得2x－a＋＝0，

x1即a＝2x＋成立，

x112∴a＝2x＋≥22(当且仅当2x＝，即x＝时等号成立)．

xx2∴a的取值范围是[22，＋∞)．

13．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8. (1)求a，b的值；

(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．

考点

导数的应用

题点

导数的应用

解

(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，

所以f′(x)＝2ax＋b，

又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8. (2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，

所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，

所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7，

又g(0)＝3，

所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，

即7x＋y－3＝0. 四、探究与拓展

414．已知点P在曲线y＝x上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是e＋1________．

考点

导数的应用

题点

导数的应用

3π答案

4，π

4ex4ex解析

y′＝－x＝－2x，

e＋12e＋2ex＋14t4设t＝ex∈(0，＋∞)，则y′＝－2＝－，

1t＋2t＋1t＋＋2t1∵t＋≥2(当且仅当t＝1时，等号成立)，

t3π∴y′∈[－1,0)，α∈4，π. b15．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. x(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．

考点

导数的应用

题点

导数的应用

7解

(1)由7x－4y－12＝0，得y＝x－3. 411当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①

22b7又f′(x)＝a＋2，∴f′(2)＝，②

x4由①②得b7a＋4＝4，3故f(x)＝x－. xb12a－＝，22

a＝1，解得

b＝3，

3(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋2知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为

x31＋2(x－x0)，

y－y0＝x033x0－＝1＋2(x－x0)．

即y－xx006令x＝0，得y＝－，

x0

60，－. 从而得切线与直线x＝0的交点坐标为x0令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．

61－|2x0|＝6. 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为2x0故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.