2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系优秀教学设计

2.3.3

直线与平面垂直的性质

教学目标

1.知识与技能：

（1）理解并掌握直线与平面垂直的定义和性质定理；能对定义与性质定理进行简单应用

；

（2）通过对定义和性质定理的探究和运用，初步培养学生的几何直观能力和抽象概括能力；

（3）通过对探究过程的引导，努力提高学生学习数学的热情,培养学生主动探究的习惯.

2.过程与方法：经历位置关系判断的推导过程，体验由特殊到一般、数形结合的数学思想方法。使学生初步学会把一些实际问题转化为直线和平面的问题,关键是要使该问题是否满足直线和平面垂直的性质定理，培养学生分析问题、解决问题的能力

3.情感态度价值观：

（1）空间教学的核心问题是让学生了解平面的特征，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；

（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想

重点难点

1.教学重点：操作确认并概括出直线与平面的定义和性质定理的过程及初步应用；

2.教学难点：操作确认并概括出直线与平面的定义和性质定理的过程. 教学过程：

复习

直线与平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂

面.直线和平面垂直的画法及表示如下：

图1 如图1，表示方法为：a⊥α. 由直线与平面垂直的定义不难得出：

b⊥a. 导入新课

如图2，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？

图2 提出问题

①回忆空间两直线平行的定义. ②判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系？

③找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面

的两条直线的位置关系. ④用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理. ⑤如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用？

讨论结果：①如果两条直线没有公共点，我们说这两条直线平行.它的定义是以否定形式给出的，其证明方法多用反证法. ②如图3，同垂直于一条直线的两条直线的位置关系可能是：相交、平行、异面.

图3 ③如图4，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在

直线都垂直于所在的平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？

图4

图5 棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD，它们之间互相平行. ④直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为：

垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行. 直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：

b∥a. 直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图5. ⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系. 应用示例

例1

证明垂直于同一个平面的两条直线平行. 解:已知a⊥α,b⊥α. 求证：a∥b.

图6

证明：（反证法）如图6，假定a与b不平行，且b∩α=O,作直线b′，使O∈b′,a∥b′. 直线b′与直线b确定平面β，设α∩β=c,则O∈c. ∵a⊥α,b⊥α,∴a⊥c,b⊥c. ∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O∈b,O∈b′,b β,b′

β, a∥b′显然不可能，因此b∥a. 例2

如图7，已知α∩β=l,EA⊥α于点A,EB⊥β于点B,a α,a⊥AB. 求证:a∥l.

图7 证明：

l⊥平面EAB. 又∵a α,EA⊥α,∴a⊥EA. 又∵a⊥AB,∴a⊥平面EAB. ∴a∥l. 例2

如图8,已知直线a⊥b，b⊥α，a α. 求证：a∥α.

图8 证明：在直线a上取一点A，过A作b′∥b，则

b ′必与α相交，设交点为B，过相交直线a、b′作平面β，设α∩β=a′, ∵b′∥b，a⊥b,∴a⊥b′.∵b⊥α，b′∥b, ∴b′⊥α. 又∵a′

α,∴b′⊥a′. 由a，b′，a′都在平面β内，且b′⊥a，b′⊥a′知a∥a′.∴a∥α. 例3

如图9，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点. （1）求证：MN⊥CD；

（2）若∠PDA=45°，求证:MN⊥面PCD.

图

9 证明：(1)取PD中点E,又N为PC中点,连接NE,则NE∥CD,NE= CD.

又∵AM∥CD,AM= CD, ∴AM NE. ∴四边形AMNE为平行四边形. ∴MN∥AE. ∵

CD⊥AE. (2)当∠PDA=45°时,Rt△PAD为等腰直角三角形, 则AE⊥PD.又MN∥AE, ∴MN⊥PD,PD∩CD=D. ∴MN⊥平面PCD. 变式训练

已知a、b、c是平面α内相交于一点O的三条直线，而直线l和平面α相交，并且和a、b、c三条直线成等角.求证：l⊥α. 证明：分别在a、b、c上取点A、B、C并使AO=BO=CO.设l经过O，在l上取一点P，在△POA、△POB、△POC中，

∵PO=PO=PO，AO=BO=CO，∠POA=∠POB=∠POC，

∴△POA≌△POB≌△POC. ∴PA=PB =PC.取AB的中点D, 连接OD、PD，则OD⊥AB，PD⊥AB. ∵PD∩OD=D,∴AB⊥平面POD. ∵PO 平面POD,∴PO⊥AB. 同理,可证PO⊥BC. ∵AB α，BC α，AB∩BC=B,∴PO⊥α，即l⊥α. 若l不经过点O时，可经过点O作l′∥l.用上述方法证明l′⊥α，

∴l⊥α. 课堂练习：

1．若

表示直线，

表示平面，下列条件中，能使

的是

（

）

2．已知

与

是两条不同的直线，若直线

平面

，①若直线

，则

；②若

，则

；③若

，则

；④

，则

。上述判断正确的是

（

）

①②③

②③④

①③④

②④

3．在直四棱柱

中，当底面四边形

满足条件

时，有

（注：填上你认为正确的一种条件即可，

不必考虑所有可能的情况）

4、如图，直三棱柱

中，

，侧棱

，侧面

的两条对角线交于点

，

的中点为

，

求证：

平面

课堂小结

知识总结：利用线面垂直的性质定理将线面垂直问题转化为线线平行，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等. 思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题. 作业

课本习题2.3

B 组1、2.