1.2.1 中心投影与平行投影主要内容及教案内容

1.2.1

中心投影与平行投影

1.2.2

空间几何体的三视图

学习目标

1.了解中心投影和平行投影. 2.能画出简单空间图形的三视图. 3.能识别三视图所表示的立体模型．

知识点一

投影的概念

思考

由下图你能说出影子是怎样得到的吗？

答案

光照射到不透明物体(比如手)上，在后面的屏幕上留下影子．

梳理

(1)定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．

(2)投影线：光线．

(3)投影面：留下物体影子的屏幕．

知识点二

投影的分类

投影

中心投影

平行投影

知识点三

三视图

思考

如梦似幻！——这是无数来自全世界的游客对国家游泳中心“水立方”的第一印象．假如你站在水立方入口处的正前方或在“水立方”的左侧看水立方，你看到的是什么？若你在“水立方”的正上方观察水立方看到什么？

根据上述三个方向观察到的平面，能否画出“水立方”的形状？

答案

“水立方”的一个侧面．

“水立方”的一个表面．

可以．

定义

光由一点向外散射形成的投影

在一束平行光线照射下形成的投影

特征

投影线交于一点

投影线平行

分类

正投影和斜投影

梳理

三视图的概念

(1)定义

(2)三视图的画法规则

①正、俯视图都反映物体的长度——“长对正”；

②正、侧视图都反映物体的高度——“高平齐”；

③俯、侧视图都反映物体的宽度——“宽相等”．

(3)三视图的排列顺序：先画正视图，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边．

类型一

中心投影与平行投影

例1

(1)①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；③几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确说法的个数为(

) A．0

B．1

C．2

D．3 答案

D 解析

由平行投影和中心投影的定义知，平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点，故①正确；空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点，故②正确；几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式，故③正确．故选D. (2)如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别是A′A，C′C的中点，则下列判断正确的是________．(只填序号)

①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形；

②四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是菱形；

③四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形．

答案

①③

解析

①四边形BFD′E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是B，C，D，A，所以投影是正方形，即①正确；②设正方体的棱长为2，则AE＝1，取D′D的中点G，连接AG，则四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是四边形AGD′E，由AE∥D′G，且AE＝D′G，知四边形AGD′E是平行四边形，但AE＝1，D′E＝5，所以四边形AGD′E不是菱形，即②不正确；对于③，由②可知两个投影四边形是对边分别相等的平行四边形，从而③正确．

反思与感悟

(1)判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断．

(2)画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得出此图形在该平面上的投影．

跟踪训练1

(1)已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的△A′B′C′与△ABC的关系是(

) A．全等

C．不相似

答案

B 解析

根据题意画出图形如图．

B．相似

D．以上都不对

ABOBBCOCAC由图易得＝＝＝＝，则△ABC∽△A′B′C′. A′B′OB′B′C′OC′A′C′(2)如图，E，F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是图中的________．(要求把所有可能的序号都填上)

答案

②③

解析

其中②可以是四边形BFD1E在正方体的面ABCD或面D1DCC1上的正投影．③可以是四边形BFD1E在正方体的面BCC1B1上的正投影．四边形BFD1E在正方体任何一个面上的正投影都不是①④. 类型二

三视图的画法与识别

例2

一个长方体截去两个三棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的三视图为(

)

答案

C 解析

从该几何体可以看出，正视图是一个矩形内有一斜向上的对角线；俯视图是一个矩形内有一斜向下的对角线，没有斜向上的对角线，故排除B、D项；侧视图是一个矩形内有一斜向下的对角线，且都是实线，因为没有看不到的轮廓线，所以排除A项．

跟踪训练2

将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为(

)

答案

B

解析

由几何体的正视图和俯视图可知该几何体如图所示，故其侧视图为B中的图象．

例3

画出如图所示的几何体的三视图．

解

如图所示．

(1)

(2)

引申探究

例3(2)中的组合体改为如下图形，画出其三视图．

解

图中几何体实际为组合体，下部是三个正方体，上部是一个圆柱，按正方体和圆柱的三视图画法画出该组合体的三视图，如图所示．

反思与感悟

画三视图的注意事项：

(1)务必做到长对正，宽相等，高平齐．

(2)三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．

(3)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．

跟踪训练3

如图是同一个圆柱的不同放置，阴影面为正面，分别画出它们的三视图．

解

三视图如图所示．

(1)

(2)

类型三

由三视图还原几何体

例4

(1)说出下面的三视图表示的几何体的结构特征．

解

几何体为三棱台，结构特征如下图：

(2)根据以下三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图．

解

此几何体上面可以为圆台，下面可以为圆柱，所以实物草图可以如图．

反思与感悟

(1)通过正视图和侧视图确定是柱体、锥体还是台体．若正视图和侧视图为矩形，则原几何体为柱体；若正视图和侧视图为等腰三角形，则原几何体为锥体；若正视图和侧视图为等腰梯形，则原几何体为台体．

(2)通过俯视图确定是多面体还是旋转体，若俯视图为多边形，则原几何体为多面体；若俯视图为圆，则原几何体为旋转体．

跟踪训练4

(1)根据图①②③所示的几何体的三视图，想象其实物模型，画出示意图．

解

三视图对应的几何体如下图所示．

(2)如图所示为长方体木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成．

答案

4 解析

由三视图知，由4块木块组成．如图．

1．一条直线在平面上的平行投影是(

) A．直线

C．线段

答案

D 解析

当投影线与该直线平行时直线的平行投影为一个点；当投影线与该直线不平行时，直线的平行投影为一条直线．

2．如图，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，与甲、乙、丙相对应的标号是(

) ①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱．

B．点

D．直线或点

A．③①②

C．③②④

答案

D 3．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(

) B．①②③

D．④②③

答案

D 解析

根据几何体的三视图知识求解．

由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是D. 4．将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为(

)

答案

B 解析

还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．