复习参考题教学实录及点评

2．3．1 直线与平面垂直的判定

一、教材分析

本节课是在学生们学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其初步应用。其中，线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法和性质，它是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是研究空间中的线线关系和线面关系的桥梁。

二、学情分析

通过学生者已有的认知基础以及熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象和直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构，这为学习者学***面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础。学习者学习的困难在于如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义，感悟直线与平面垂直的意义；以及如何从折纸试验中探究出直线与平面垂直的判定定理，

三、教学目标

通过直观感知、操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，养成主动探究的习惯，增强学习数学的兴趣。

四、教学重点、难点

重点：直线与平面垂直的判定定理及应用

难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理

五、教学方法

启发式教学，多媒体辅助教学与探究式教学相结合

六、教学过程

环节

问题创设

师生活动

设计意图

直

线

与

平

面

垂

直

定

义

的

建

构

（1）

创设情境-——感知概念

我：同学们，前面我们已经学习了如何判定一条直线与一个平面平行以及平面和平面平行，这节课我们将继续学习如何判定直线与平面的另一种特殊的因为线面垂直定义比较抽象，若直接给出，学生只能死记硬背，因此，在教学中通过图片进行直观感知，然后再通过多媒体课件演示，设计这样的问题情景贴近学生生活，使得学生对直线与 ①请同学们观察图片并说出旗杆与地面、楼的柱子与地面的位置有什么关系？

②请把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置有什么关系？

③思考：如何定义一条直线与一个平面垂直呢？

（2）

观察讨论——形成概念

①

学生画图：将旗杆与地面的位置关系画出相应的几何图形。位置关系。我们先来观察一组图片（边说边放映图片，等图片出来了随即提出问题①②③）

生：一起说出①是垂直的关系，然后又分别拿书本放在桌子上发现也是垂直的关系。

我：对，是垂直的，那么我们如何用数学语言定义我们所看到的这种垂直呢！

平面垂直的概念

我：请同学们结合第一张图片和①思考问题②.

通过展示可知旗杆AB所在直线与过点

获得一定的感性认识，为归纳出直线与平面垂直的概念作准备。

通过学习者动手实践、讨论交流和多媒体课件演示，②提出问题：能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这种垂直呢？

③演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化（演示并提出以下问题）

ⅰ）阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么？

ⅱ)随着太阳的移动,影子BC的位B的直线都垂直，同时我们也可以看出旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直（因为通过平移后还是会有交点）

生：认真观察图片并回答相对应的问题 使其经历从实际

背景中抽象出几何概念的全过程，从而形成完整和正确的概念

置也会移动,而旗杆AB与影子BC的位置关系是否会发生改变?

让学生进一步从文字语言、符号语言、图形语言三个方面对直线与平面垂直的定义进行深入地理解。

通过对问题①的辨析讨论，解释“无数”与“任何”的不同，并说明线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质。通过对问题②的辨析讨论旨在让学生掌握线线垂直的一种判定方法

通过问题想让学生认识到判断直线与平面的垂直用定义很难做到所以我们有必要寻找更为简便可ⅲ)旗杆AB与地面上任意一条不过我：通过以上实例，我们可以得出直线点B的直线B1C1的位置关系如何?

与平面垂直的定义，

（3）抽象概括——理解概念

定义：如果直线l与平面α内的任

意一条直线都垂直，我们就说直线我：好，这样我们就得到了直线与平面l与平面α互相垂直, 记作：l⊥α

垂直的定义了

我：根据学生的进行验证（借助直角三此时提问能否用无数代替任意二角板的两条直角边演示）

字，（也就是说如果一条直线垂直

于一个平面内的无数条直线，那么

这条直线是否与这个平面垂直？）

1、最近学校广场上准备要立一根新旗杆，现要检验它是否与地面垂直，你有什么好办法？

АС

我：最近呢，我们学校操场上准备要立一根新旗杆，现要检验它是否与地面垂直，你有什么好办法？ 如果用定义的话，这就意味着我们要验证旗杆所在直线和地面这个平面内所有的直线都垂直，这显然不太现实，那么有没有更简单可行的方法呢，可能很自然的会想到通过减少平面内直线的条数来进行线……В

面垂直的判定，那到底要减少到几条直线才行呢？

直

线

与

平

面

垂

直

的

判

定

定

理

的

建

构

先通过放映源于生活中一些直线垂直于平面的例子并抽象出其中的数学模型

不如先来看看一条直线的情况（直接借助三角板的两条直角边来进行验证）

一条边不行那么两条边可以吗？（其实在验证定义中无数的例子拿过来用）

两条平行直线不行，那么两条相交直线呢？（也就是说已知直线与平面内两条相交直线都垂直那么这条直线和这个平面垂直吗？）。

请大家观察图片中的运动器材，工人师傅是怎么保证这个支架与地面垂直的呢？可以看出只要与地面上的两根支架垂直就可以了，把这个模型抽象出来就是一条直线与平面内两条相交的直行的方法来判断直线与平面的垂直，于是就想到要减少直线的条数从而引出直线与平面的垂直判定定理的探

索。

实验探究：如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：

BC边上的高AD对折，折好了之后把纸片立在桌上让 BD、DC与桌面接触，观察并思考：折痕AD与桌面垂直吗？

线垂直就可以了。

我们还可以把书本立起来，观察一下，

直立的书籍垂直桌面，该书籍垂直这两条边（用手指出书籍底下的两条边），这些都是我们生活中常见的例子。

我：我们接下来再做一个实验，请大家拿出一个三角形纸片ABC,并过BC边上的高AD对折，折好了之后把纸片立在桌上让

BD、DC与桌面接触，观察折痕AD与桌面垂直的吗？很显然这是肯定的，那么我们抽象出这个模型

判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（强调两条和相交）

画法：

符号：

m,n,mnPl

lm,ln

应用：证明线面垂直（回到刚才的旗杆问题，我们只需要在地面找两条相交直线与旗杆垂直就可以了）

关键：要在平面内找出两条相交的直线与已知直线垂直

注意：1、平面内两条直线必须相交

2、已知直线与平面内两条相交直线必须垂直

例1：如果一条直线垂直于平面内的：（1）三角形的两条边

（3）

梯形的两条边

（4）

圆的两条直径

试问这条直线是否一定与平面垂直？说出你的理由

l

这里又回到了一条直线与平面内两条相交直线

垂直的情形，

所以现在我们就可以给出直线与平面的垂直的判定定理了（进行板演），判定定理中的这5个条件不能缺少 。可以剖析定理（应用、关键、注意），，那么关于这个定理的严格证明呢我们p α

m n 将在空间向量一章中给出严格证明，感兴趣的同学呢可以课下讨论。

那么下面呢我们将用这个定理进行个简单的应用。

先看例1（此时把题读一遍）

请大家先思考下。提问学D 生D:是垂直的

我：为什么呢？

生D：因为三角形的两条边是相交的直线，符合判定定理，

定

理

应

用

我：回答的非常好，那（2）呢？

生：一起说不一定

我：对，因为如果这两条边是梯形的上

下底，那么是平行的情况，就不能够满

足判定定理所需要的条件，所以就不一

定垂直。 而（3）呢?（说完停顿会

等下面同学反映），对，一定垂直，因

为圆的两条直径所在的直线是平面内

两条相交的直线，所以满足条件可以用

判定定理判定它是垂直的。 所以啊，

这道例题就是在考察我们刚才强调的

关键（可再次重申关键），好，相信这

个问题对大家来说都不难，

例2：如右图，已知a∥b，a⊥α，下面再来看道题（放映例2），让同学们求证：b⊥α

先思考然后提问学生。

a b

n

m

α

用学到手的知识解释实际生活中的问题，增强学习者的应用意识，深化对线面垂直判定定理理解

此题培养学习者的逻辑推理能力和规范书写的能力

例3：如图,在三棱锥V-ABC中

,

VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中点. 求证：（1）AC⊥平面VKB （2） AC⊥VB

我：

好，下面来看例3 ，请大家快速思考（等待1min），好，大家都做得差不多了我们来看哈要证明第（1）问（读问题）应该用什么来证明呢？

生：一起回答用判定定理

我：是的，我们只需要找到平面VKB内主要运用直线与平面垂直的判定定理，意在培养学习者熟练进行线线和线面之间垂直关系的转化，从的两条相交直线与AC垂直就可以了

而准确和灵活地（先与学生一起口述过程）

，大家思

（1）本节课我们学习了：

①直线与垂直的定义

②直线与垂直的判定定理（强调两条相交的直线）

成才之路上对应章节的练习

2．3．1 直线与平面垂直的判定

一、定义：

二、判定定理

内容：

图示：

符号：

应用判定定理和路都没有问题，表达上也希望完善下。

定义。

接下来我们一起总结一下今天所学的知识。。。。

进一步对所学知

识进行巩固和了

电脑屏幕

解

通过作业练习可以让学生更深刻的认识这个

例1：

例2：

例3：

归

纳

小

结

作

业

布

置

板

书

设

计