3.1.2 空间向量的数乘运算优质课一等奖

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选用教材

知识

与技能

学科网ZXXK]

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备课人：

陈慧芳

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共 7课时

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本节第

2课时

新授

3.1.2空间向量的数乘运算

选修2-1 知识模块

立体几何

[来源:学*科*网][来源:教学目标1．了解空间向量的数乘运算，共线向量、方向向量；

2．理解共面向量，并掌握判断三点共线与四点共面的充要条件；

3．综合运用向量的线性运算及充要条件，进行简单的几何证明。[来源:Zxxk.Com]

[来源:过程

与方法

情感态度价值观

从对直线及平面的认识出发，认识方向向量以及共线、共面的充要条件。

学科网Z.X.X.K]

体会运用向量解决几何问题的简便性。

重

点

难

点

关

键

共线向量、三点共线、四点共面

三点共线、四点共面

理解点在线上、点在面上的含义。

教学方法

熟悉平面向量的共线、基本定理。

及课前准备

教学流程

多媒体

辅助教

学内容

1.一、开门见山，引入新课

提出问题：看到今天的课题，大家可以联想到什么？再引入课本章头引言的第三段话，让学生明白平面向量与空间向量之间的关系，学会用类比的方法学习空间向量的有关知识。

二

、复习回顾，类比引入（空间向量数乘运算的定义）

复***面向量的数乘运算的定义

说一说：类比平面向量的数乘运算的定义，请大家给空间向量的数乘运算下一个定义

讲解：空间向量满足的运算律

①aa

②aaa

③abab请大家课后给予证明。

三，自主探究，类比推理（共线定理）

提问：前面，我们刚学习了空间中两条直线的位置关系，那么空间中的任意两个向量有哪些位置关系呢？我们应该如何来判断他们之间的位置关系呢?

自主探究：对空间任意两个向量a与b，如果ab，那么a与b有什么位置关系？反过来，a与b有什么位置关系时，ab？

1．共线（平行）向量：

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：a平行于b，记作：a//b．

2．共线向量定理：

对空间任意两个向量a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数，使ab（唯一）．

由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题

推论：如果l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对空间任一点O，

点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式OPOAta

①，

其中向量a叫做直线l的方向向量。

在l上取ABa，则①式可化为OPOAtAB或OP(1t)OAtOB②

lPBAa11时，点P是线段AB的中点，此时OP(OAOB)③

22①和②都叫空间直线的向量表示式，③是线段AB的中点公式．

当t（1）空间任意一直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定；

（2）利用（2）式可以判定空间任意三点A、B、P共线。

O（有三种方式：OPOAtAB，OP(1t)OAtOB，APPB）

练习：（见PPT11）

四，合作探究，巩固训练（共面定理）

思考：1.怎样的向量叫做共面向量？空间中三个向量共面吗？

2.平面向量的基本定理是什么？能否推广到空间向量呢？共面向量定理能帮我们解决空间中的那类问题呢？

3．向量与平面平行：

已知平面和向量a，作OAa，如果直线OA平行于或在内，

那么我们说向量a平行于平面，记作：a//．

通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

说明：空间任意的两向量都是共面的．空间任意的三向量不一定是共面的

4．共面向量定理：

如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使pxayb．

推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使MPxMAyMB或对空间任一点O，有OPOMxMAyMB①， ①式叫做平面MAB

OPxOAyOBzOC(x,y,zR),

的向量表达式．

例题讲解

例1. 已知A,B,C三点不共线，对于平面ABC外的任意一点O，确定在下列条件下，M是否与A,B,C四点共面

111(1)OMOAOBOC

333(2)OM2OAOBOC

例2.（课本P88例1）

分析：能否通过条件找到一个向量用其它两个向量表示的关系式？如何表示？平行四边形这一条件又如何使用？

五．课堂小结，当堂检测

1.课堂小结

一．空间向量数乘运算

二．空间向量数乘运算的运算律

三．共线定理与共面定理



2.当堂检测

1．设a,b是平面上不共线的向量，AB2akb、

CBa3b、CD2ab，

若A、B、D三点共线，则k=

。

例1：已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外一点O，给定的下列条件，点P与A、B、M是否共面？

（1）OPOM3OPOA

（2）OP4OAOBOM

→→→3．

已知P和不共线三点A，B，C四点共面且对于空间任一点O，都有OP＝2OA＋OB＋λOC，则λ＝________