探究与发现 为什么截口曲线是椭圆公开课教学设计模版

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探究与发现

为什么截口曲线是椭圆

高三数学组（马丽艳木.合力力）

教材分析：

利用学生熟知的地理规律：地球围绕太阳转引入，让学生感到亲切自然；通过“嫦娥三号”的升空录像，让学生感受现实，激发学生的兴趣，培养爱国思想. 通过做实验，让学生动手实践，体验椭圆的形成过程，加深对椭圆定义的理解. 将学生分为四人一组，通过分组讨论、研究，增强学生的合作意识. 在动手过程中,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力. 通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力. 椭圆的标准方程的导出，放手给学生有很大的难度，这里采取有意义的接受学习的

方式，教师对照图形，加以引导，让学生明白方程中字母的几何意义，对方程的理解有很大的作用. 展示动画，通过类比的方法，让学生对照焦点在x轴的情形，写出焦点在y轴上时，椭圆的标准方程. 通过图表便于对比，加深学生对两个方程及几何意义的认识. 尝试练习，加深对方程及几何意义的理解.

一、教学目标：

1、知识与技能目标

（1）掌握椭圆的定义及焦点、焦距的概念，能正确推导椭圆的标准方程．

（2）掌握求椭圆标准方程的定义法和待定系数法．

2、过程与方法目标

（1）经历椭圆的形成过程，培养学生运动变化的观点，训练学生的动手的能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力．www.21-cn-jy.com

（2）通过联系曲线方程的求法，推导椭圆的标准方程，培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．2·1·c·n·j·y

3、情感态度与价值观目标

（1）通过小组合作，培养学生的协作、友爱精神，体验成功的快乐. （2）激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神．

二、重点、难点：

重点：掌握椭圆的定义及标准方程，理解坐标法的基本思想；

难点：椭圆标准方程的推导与化简. 三、教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探

索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．【来源：21·世纪·教育·网】

四、教具准备：多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳．

y*com

教学过程: (1)预习与引入过程

当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，

再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起探究P41页上的问题(同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条(约10cm长，两端各结一个套)，教师准备无弹性细绳子一条(约60cm，一端结个套，另一端是活动的)，图钉两个)．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小(动点)满足的几何条件是什么？〖板书〗2． 1．1椭圆及其标准方程．21··com

(2)新课讲授过程

(i)由上述探究过程容易得到椭圆的定义．

把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆(ellipse)．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为M时，椭圆即为点集PM|MF1MF22a．21·世纪*教育网

(ii)椭圆标准方程的推导过程

提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系．W 无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理．

设参量b的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、a,b,c的关系有明显的几何意义．

类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的椭圆的标准方程y2x21ab0．

a2b2

(iii)例题讲解与引申

例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是2,0，2,0，并且经过点53,，求它的标准方程．

22分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c．引导学生用其他方法来解．

另解：设椭圆的标准方程为53x2y21ab0因点,在椭圆上，

，2222ab925a10122则4a4b．

a2b24b6例2 如图，在圆x2y24上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？21世纪教育网版权所有

分析：点P在圆x2y24上运动，由点P移动引起点M的运动，则称点M是点P的伴随点，因点M为线段PD的中点，则点M的坐标可由点P来表示，从而能求点M的轨迹方程．21教育网

x2y21A6,2引申：设定点，P是椭圆259上动点，求线段AP中点

的轨迹方程．

解法剖析：①(代入法求伴随轨迹)设Mx,y，Px1,y1；②(点与

x12x6伴随点的关系)∵M为线段AP的中点，∴；③(代入已知y2y21x12y12轨迹求出伴随轨迹)，∵1，∴点M的轨迹方程为259x3252y1921；④伴随轨迹表示的范围．

4例3如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为com

分析：若设点Mx,y，则直线AM，BM的斜率就可以用含x,y的式子表示，由于直线AM4，求点M的轨迹方程．21cnjy.9，BM的斜率之积是4，因此，可以求出x,y9之间的关系式，即得到点M的轨迹方程．【来源：21·世纪·教育·网】

解法剖析：设点Mx,y，则kAMyyx5k，BMx5；

x5x5yy4代入点M的集合有，化简即可得点M的轨迹方程．

x5x59引申：如图，设△ABC的两个顶点Aa,0，

Ba,0，顶点C在移动，且kACkBCk，且k0，试求动点C的轨迹方程．

引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当k值在变化时，线段AB的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴．2·1·c·n·j·y

六、板书设计：

选修2.2.1椭圆及其标准方程

1．椭圆的定义

标准方程的推导

例2：（要点）

练习

MF1MF22a（常数）（2a

F1F2）

2．椭圆标准方程

（1）焦点在x轴上

x2y2例1：（要点）

1（a>b>0）

a2b2（2）焦点在y轴上

y2x21(ab0)

a2b2

x2y2七、布置作业：1．椭圆1上一点259P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（ ）

A.5 D.1021教育网

x2y21的焦点（ ）

2.椭圆25169 B.6 C.4 A.(±5，0)D.(±12，0)21

B.(0，±5) C.(0，±12) x2y23．如果椭圆1上一点P到焦点F1的距离等于100366，那么点P到另一个焦点F2的距离是（

）．

A．4 B．14 C．12 D．8

x2y24．椭圆1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若|PF1|4，则92|PF2| ；F1PF2的大小为 .

x2y25．若椭圆1的离心率e10，则m的值是（ ）．

55mA．3 B．3或25 C．15 D．15或515

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课后反思：

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