1.1.3 四种命题间的相互关系教学设计第二课时

淘出优秀的你

1.4.3含有一个量词的命题的否定

(一)教学目标

1.知识与技能目标

（1）通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．

（2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．

2．过程与方法目标

：使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．

3.情感态度价值观

通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．

(二)教学重点与难点

教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．

教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．

教具准备：与教材内容相关的资料. 教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

（三）教学过程

学生探究过程：

1．回顾

我们在上一节中学习过逻辑联结词“非”．对给定的命题p

，如何得到命题p

的否定（或非p

），它们的真假性之间有何联系？

2．思考、分析

判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？

（1）所有的矩形都是平行四边形；

（2）每一个素数都是奇数；

（3）x∈R,

x2－2x＋1≥0. www.91taoke.com

联系电话：4000-916-716

淘出优秀的你

（4）有些实数的绝对值是正数；

（5）某些平行四边形是菱形；

（6）

x∈R,

x2＋1＜0. 3．推理、判断

你能发现这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？（让学生自己表述）

前三个命题都是全称命题，即具有形式“xM,p(x)”. 其中命题（1）的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，

存在一个矩形不都是平行四边形；

命题（2）的否定是“并非每一个素数都是奇数；”，也就是说，

存在一个素数不是奇数；

命题（3）的否定是“并非x∈R,

x2－2x＋1≥0”，也就是说，

x∈R,

x2－2x＋1＜0；

后三个命题都是特称命题，即具有形式“xM,p(x)”. 其中命题（4）的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，

所有实数的绝对值都不是正数；

命题（5）的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，

每一个平行四边形都不是菱形；

命题（6）的否定是“不存在x∈R,

x2＋1＜0”，也就是说，

x∈R,

x2＋1≥0；

4．发现、归纳

从命题的形式上看，前三个全称命题的否定都变成了特称命题.后三个特称命题的否定都变成了全称命题. 一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题p：

xM,p(x)

它的否定￢p

xM,p(x)

www.91taoke.com

联系电话：4000-916-716

淘出优秀的你

特称命题p：

xM,p(x)

它的否定￢p：

x∈M，￢p(x) 全称命题和否定是特称命题.特称命题的否定是全称命题. 5.例题精析

例1

写出下列全称命题的否定：

（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数

（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆

（3）p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3. 解：（1）﹁p：存在一个能被3整除的整数不是奇数；

2）﹁p：存在一个四边形，其四个顶点不共圆；

3）﹁p：x0∈Z，x02的个位数字等于3. 例2

写出下列特称命题的否定：

（1）p：x0∈R，x02＋2x0＋2≤0；

（2）p：有的三角形是等边三角形；

（3）p：有一个素数含有三个正因数. 解：（1）﹁p：x∈R，x2＋2x＋2＞0；

2）﹁p：所有的三角形都不是等边三角形；

3）﹁p：每一个素数都不含三个正因数. 6．巩固练习

1．已知命题p：∀x∈R，cos x≤1，则(

) A．非p：∃x0∈R，cos x0≥1

B．非p：∀x∈R，cos x≥1

C．非p：∃x0∈R，cos x0>1 D．非p：∀x∈R，cos x>1 【解析】全称命题的否定为特称命题，

∴∀x∈R，cos x≤1的否定为：∃x0∈R，cos x0>1. 【答案】C 2．下列命题中，真命题是(

) www.91taoke.com

联系电话：4000-916-716

（（（（

淘出优秀的你

A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数

B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数

C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数

D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数

【解析】只有当m＝0时，f(x)＝x2(x∈R)是偶函数，故A正确，C、D不正确；又二次函数不可能为奇函数，故B不正确．

【答案】A 3．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(

) A．∃x∈R，f(x)≤f(x0) B．∃x∈R，f(x)≥f(x0) C．∀x∈R，f(x)≤f(x0) D．∀x∈R，f(x)≥f(x0) b【解析】由题意知：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，2a即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的．

【答案】C 4．已知命题p：对∀x∈R，∃m∈R，使4x＋2xm＋1＝0.若命题非p是假命题，则实数m的取值范围是(

) A．[－2,2]

C．(－∞，－2]

B．[2，＋∞)

D．[－2，＋∞)

【解析】因为非p为假，故p为真，即求原命题为真时m的取值范围．

由4x＋2xm＋1＝0，

4x＋1x1得－m＝x＝2＋x≥2.

22∴m≤－2. 【答案】C 5．命题“∀x∈R，x2－x＋4>0”的否定是________．

【解析】“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x0∈M，非p(x0)”，

∴其否定为：∃x0∈R，x20－x0＋4≤0.

2【答案】∃x0∈R，x0－x0＋4≤0

6．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________．

【解析】命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题“有的向量与零向量不共线”．

www.91taoke.com

联系电话：4000-916-716

淘出优秀的你

【答案】有的向量与零向量不共线

7．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：

(1)二次函数的图象是抛物线．

(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象．

(3)有些四边形存在外接圆．

(4)∃a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．

解：(1)∃f(x)∈{二次函数}，f(x)的图象不是抛物线．它是假命题．

(2)在直角坐标系中，∃l∈{直线}，l不是一次函数的图象．它是真命题．

(3)∀x∈{四边形}，x不存在外接圆．它是假命题．

(4)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命题．

8．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，使x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．

解：对于命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0恒成立，

只需12－a≥0恒成立，即a≤1；

对于命题q：∃x0∈R，使x20＋2ax0＋2－a＝0成立，

则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，得a≤－2或a≥1.

若p且q为真，则a≤－2或a＝1. 故a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}．

www.91taoke.com

联系电话：4000-916-716