1.1.3 四种命题间的相互关系第一课时教学设计

四种命题间的相互关系

●三维目标

1.知识与技能

初步理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式；初步理解四种命题间的相互关系并能判断命题的真假．

2．过程与方法

培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．

3．情感、态度与价值观

激发学生学习数学的兴趣和积极性，优化学生的思维品质，培养学生勤于思考、勇于探索的创新意识，感受探索的乐趣．

●重点难点

重点：四种命题之间相互的关系．

难点：互为逆否关系的应用及命题真假的判断．

通过一个生活中的场景引出逻辑在生活中必不可少的重要地位，从而引发学生学习四种命题的兴趣，然后主要通过对概念的讲解和分析，并配以适量的课堂练习，让学生掌握四种命题的概念，会写四种命题，并掌握四种命题之间的关系以及通过逆否命题来判断命题的真假；最后运用所学命题知识解决实际生活中的问题，让学生学会用理性的逻辑推理能力思考问题，从而突破重难点．

●教学建议

这节内容是以概念的理解和关系的思辨为主的，因此以讲解和练习强化为主要方法，并在讲解过程中引导和启发学生的思维，让学生充分地思考和动手演练．宜采取的教学方法：(1)启发式教学．这能充分调动学生的主动性和积极性，有利于学生对知识进行主动建构，从而发现数学规律．(2)讲练结合法．这样更能突出重点、解决难点，让学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高．学习方法：(1)由特殊到一般的化归方法：学习中学生在教师的引导下，通过具体的实例，让学生去观察、讨论、探索、分析、发现、归纳、概括．(2)讲练结合法：让学生知道数学重在运用，从而检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距并及时加以补救．

通过本节的学习，了解命题的四种形式及其关系，利用原命题与逆否命题，逆命题与否

命题之间的等价性解决有关问题，渗透由特殊到一般的化归数学思想．

●教学流程

创设问题情境，给出四个命题，引出问题：四个命题的条件与结论有何区别与联系？⇒引导学生观察、比较、分析，得出四种命题的概念与他们之间的相互关系.⇒⇒⇒通过引导学生回答所提问题，层层深入地得出四种命题真假的关系.通过例1及其互动探究，使学生掌握四种命题的概念及相互转化.通过例2及其变式训练，使学生掌握四种命题真假的判断方法.⇒探究四种命题的真假关系，完成例3及其变式训练，从而解决等价命题相互转化在判断命题真假时的应用.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.

课1.理解“若p

，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题的概念．(重点) 标2.能熟练地写出一个“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点) 解3.掌握四种命题的相互关系并能判断命题的真假．(难点) 读

【问题导思】

观察下面四个命题：

(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．

(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．

(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．

(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．

命题(1)与其他三个命题条件与结论之间有什么关系？

【提示】

命题(1)(2)的条件与结论互换；

命题(1)(3)，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题条件的否定和结论的否定．

命题(1)(4)，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题结论的否定和条件的否定．

1．逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的⇒

结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”．

2．否命题：如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若綈p，则綈q”．

3．逆否命题：如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为“若綈q，则綈p”. 【问题导思】

1．根据以上定义，如果把命题(2)称为原命题，那么其他三个命题分别是命题(2)的什么命题？

【提示】

命题(1)是原命题的逆命题；命题(3)是原命题的逆否命题；命题(4)是原命题的否命题．

2．如果把命题(3)称为原命题呢？

【提示】

命题(1)是原命题的否命题；命题(2)是原命题的逆否命题；命题(4)是原命题的逆命题．

【问题导思】

1．你能判断知识1中四个命题的真假吗？

【提示】

(1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题．

2．互为逆否命题的真假性有无联系？

【提示】

有(可以再举一些实例验证)．

1．两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

2．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.

例1：

写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．

(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；

(2)如果x＞10，那么x＞0；

(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0. 【思路探究】

原命题――→“若p则q”―→分清p、q――→写出表示由定义逆命题、否命

题、逆否命题【自主解答】

(1)逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么直线不垂直于平面；逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于平面内的两条相交直线．

(2)逆命题：如果x＞0，那么x＞10；否命题：如果x≤10，那么x≤0；逆否命题：如果x≤0，那么x≤10. (3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.

1．写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论，若原命题不是“若p，则q”的形式，应改写成“若p，则q”的形式，并写出条件和结论的否定：

①“换位”得到“若q，则p”为逆命题；

②“换质”(分别否定)得到“若綈p，则綈q”为否命题；

③“换位”又“换质”得到“若綈q，则綈p”为逆否命题．

2．命题的四种形式中，哪个是原命题是相对的，不是绝对的．

把本例中的命题改为以下命题后，请写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

(1)全等三角形的对应边相等．

(2)负数的平方是正数．

【解】

(1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等．

逆命题：若两个三角形三边对应相等，则两个三角形全等．

否命题：若两个三角形不全等，则两个三角形三边对应不相等．

逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．

(2)原命题可以改写成：若一个数是负数，则它的平方是正数；

逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；

否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；

逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数. 例2：

下列命题中正确的是(

) ①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“正三角形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．

A．①②③

C．②③

D．①

B．①③

【思路探究】

(1)你能直接改写命题并判断真假吗？

(2)四种命题的真假关系有何特点？能否利用这一关系判断？

【自主解答】

①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题

②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．假命题．

③原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．

∵方程x2＋x－m＝0无实根，

1∴判别式Δ＝1＋4m<0，m<－，

4故m≤0，为真命题．

所以正确的命题是①③. 【答案】

B

1．一般地，这四种命题的真假性有且只有下面几种情况：

原命题

真

真

假

假

逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

2.四种命题的真假性之间的关系：①两个命题是互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题是互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系；③四种命题为真命题的个数只能为0,2,4个．

(2013·汕头高二检测)命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 【解析】

原命题与逆否命题为真命题；逆命题与否命题为假．

【答案】

B 例3：

判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a＜2”的逆否命题的真假．

【思路探究】

(1)你能写出此命题的逆否命题并判断其真假吗？(2)直接判断此命题的真假可以吗？

【自主解答】

法一

原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”．

判断真假如下：

抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，

∵a≥2，∴4a－7＞0，

即抛物线与x轴有交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真．

法二

先判断原命题的真假如下：

∵a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，

∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7＜0. 7∴a＜＜2. 4∴原命题是真命题．

∵互为逆否命题的两个命题同真同假，∴原命题的逆否命题为真命题．

由于原命题与其逆否命题是等价的，因此当直接证明一个命题是真命题不容易证明时，则按“正难则反”的思想去思考，分析题目，证原命题的逆否命题成立．

判断命题“若x2＋x－2m＝0无实根，则m≤0”的真假，并证明你的结论．

【解】

真命题．证明如下：

该命题的逆否命题为“若m＞0，则x2＋x－2m＝0有实根”．

∵m＞0，∴Δ＝1＋8m＞0. ∴方程x2＋x－2m＝0有实根．

∴“若m＞0，则x2＋x－2m＝0有实根”为真命题．

又∵原命题和它的逆否命题同真同假．

∴“若x＋x－2m＝0无实根，则m≤0”为真命题.

不能正确否定命题的条件或结论致误

写出命题“若x2＋y2＝0，则x、y全为0”的否命题．

【错解】

若x2＋y2≠0，则x，y全不为0. 【错因分析】

对原命题结论否定是错误的，“x，y全为0”的否定应为“x，y不全为0”，而不是“x，y全不为0.”

【防范措施】

要写出一个命题的否命题，需要既否定条件，又否定结论，有时只否定结论，得到的是原命题的否定，对条件和结论要进行正确的否定，如：“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”，避免出现因不能正确否定条件和结论而出现错误．

【正解】

若x2＋y2≠0，则x，y不全为0. 1．四种命题：首先找清命题的条件和结论，然后

(1)交换原命题的条件和结论，得到逆命题；

(2)同时否定原命题的条件和结论，得到否命题；

(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，得到逆否命题．

2．四种命题的真假判断

原命题与它的逆否命题同真假，原命题的逆命题和否命题互为逆否命题也具有相同的真假性．所以对于一些命题的真假判断(或证明)，我们可以借助与它同真假的(具有逆否关系的)命题来判断(或证明).

1．(2013·西安高二检测)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是(

) A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则a≠－b

2

D．若|a|＝|b|，则a＝－b

【解析】

命题“若p，则q”的逆命题为“若q，则p”．

【答案】

D 2．命题“若a＞b，则a－8＞b－8”的逆否命题是(

) A．若a＜b，则a－8＜b－8 B．若a－8＞b－8，则a＞b

C．若a≤b，则a－8≤b－8 D．若a－8≤b－8，则a≤b

【解析】

命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．

【答案】

D 3．(2013·临沂高二检测)命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题是________．

【解析】

否定条件与结论，得否命题“若a≤b，则2a≤2b－1”．

【答案】

若a≤b，则2a≤2b－1 4．写出下列命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题．

(1)对顶角相等；

(2)两个有理数的积是有理数．

【解】

(1)原命题：若两个角是对顶角，则这两个角相等；

逆命题：若两个角相等，则这两个角是对顶角；

否命题：若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；

逆否命题：若两个角不相等，则这两个角不是对顶角．

(2)原命题，若a，b都是有理数，则ab是有理数；

逆命题：若ab是有理数，则a，b都是有理数；

否命题：若a，b不都是有理数，则ab不是有理数；

逆否命题：若ab不是有理数，则a，b不都是有理数.

一、选择题

1．(2013·长沙高二期末)命题“若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是(

) A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数

B．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数

C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数

D．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数

【解析】

命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数．”

【答案】

A 2．设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1.则原命题与其逆命题的真假情况是(

) A．原命题真，逆命题假

B．原命题假，逆命题真

C．原命题与逆命题均为真命题

D．原命题与逆命题均为假命题

【解析】

原命题显然为真，逆命题中，假设a＝2，b＝－1，则逆命题为假命题．

【答案】

A 3．有下列四个命题：

①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；

②“相似三角形的周长相等”的否命题；

③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；

④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．

其中的真命题是(

) A．①②

C．①③

D．③④

B．②③

【解析】

①③是真命题，②④是假命题．

【答案】

C 4．互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性．我们用“↔”表示同真或同假，把它叫做“连连看”．下面让我们领略“连连看”的风采：已知命题p的否命题是r，命题r的逆命题为s，命题p的逆命题是t，则下列同真同假的“连连看”中，正确的一组是(

) A．p↔r，s↔t

B．p↔t，s↔r

C．p↔s，r↔t

D．p↔r，s↔r

【解析】

因为命题p的否命题是r，命题r的逆命题为s，所以命题p与s互为逆否命题，故有p↔s；又由于命题p的否命题为r，命题p的逆命题为t，故t、r也是互为逆否

命题，即r↔t. 【答案】

C 5．与命题“若a·b＝0，则a⊥b”等价的命题是(

) A．若a·b≠0，则a不垂直于b

B．若a⊥b，则a·b＝0 C．若a不垂直于b，则a·b≠0 D．若a·b≠0，则a⊥b

【解析】

原命题与其逆否命题为等价命题．

【答案】

C 二、填空题

6．下列命题中：

①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；

②正方形的四条边相等；

③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．

其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．

【解析】

②③互为逆命题，①③互为否命题，①②互为逆否命题．

【答案】

②③

①③

①②

7．(2013·济南高二检测)在空间中，给出下列两个命题：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．其中逆命题为真命题的是________．

【解析】

①的逆命题：若空间四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，是假命题；②的逆命题：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，是真命题．

【答案】

②

8．小强同学参加了市数学奥林匹克竞赛，班内有三位同学对他的成绩作了如下猜测：

甲：小强非第一名，也非第二名；

乙：小强非第一名，而是第三名；

丙：小强非第三名，而是第一名．

竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则小强得了第________名．

【解析】

(1)假设小强得了第三名，则甲全猜对，乙也全猜对，显然与已知条件矛盾，

故假设不成立；(2)假设小强得了第二名，则甲猜对了一半，乙猜对一半，也与已知条件矛盾，故假设不成立；(3)假设小强得了第一名，则甲猜对了一半，乙全猜错，丙全猜对．综上分析，可知小强得了第一名．

【答案】

一

三、解答题

9．判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．

(1)若a＞b，则ac2＞bc2；

(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；

(3)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac＜0，则该二次函数的图象与x轴有公共点．

【解】

(1)该命题为假命题．因为当c＝0时，有ac2＝bc2. 逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b.(真) 否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.(真) 逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.(假) (2)该命题为真命题．

逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．(真) 否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．(真) 逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．(真) (3)该命题为假命题．

当b2－4ac＜0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数的图象与x轴无公共点．

逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，则b2－4ac＜0.(假) 否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，则该二次函数图象与x轴没有公共点．(假) 逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0.(假) 10．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．

(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论．

(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

【解】

(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.它为真，可证明原命

题的否命题为真来证明它．

否命题为：若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．如果a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.因为f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，所以f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，故原命题的否命题为真，所以逆命题为真．

(2)逆否命题是：f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0.它为真，可证明原命题为真来证明它．

因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，故原命题为真．所以逆否命题为真．

11．已知下列三个方程：

x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．

【解】

假设三个方程都无实根，

Δ1＝4a＋44a－3＜0，22则有Δ2＝a－1－4a＜0，Δ3＝2a2＋8a＜0，2

－2＜a＜2，即1a＞或a＜－1，3－2＜a＜0.3解得－＜a＜－1. 231

3故三个方程中至少有一个方程有实根，则a的取值范围是a≥－1或a≤－

2