1.2.3 空间几何体的直观图优秀教学设计内容

1.2.3空间几何体的直观图

一、教学分析

“空间几何体的直观图”只介绍了最常用的、直观性好的斜二测画法.用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形直观图的画法，这是画空间几何体直观图的基础.因此，教科书安排了两个例题，用以说明画水平放置的平面图形直观图的方法和步骤.在教学中，要引导学生体会画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置.因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法.而在平面上确定点的位置，可以借助于平面直角坐标系，确定了点的坐标就可以确定点的位置.因此，画水平放置的平面直角坐标系应当是学生首先要掌握的方法.

二、教学目标

1.知识与技能

(1)掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。

(2)采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。

2.过程与方法:学生通过观察和类比,利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。

3.情感态度与价值观

(1)提高空间想象力与直观感受。

(2)体会对比在学习中的作用。

(3)感受几何作图在生产活动中的应用。

三、教学重点与难点

教学重点:用斜二测画法画空间几何体的直观图. 教学难点:直观图和三视图的互化.

四、教法与课时安排

教法:讨论探究法 课时安排：1课时

五、教学过程

1. 提问:何为三视图?(主视图:自前而后;左视图:自左而右;俯视

图:自上而下) 新

2. 讨论:如何在平面上画出空间图形? 课

3. 引入:定义直观图(表示空间图形的平面图). 观察者站在某引

一点观察几何体,画出的图形. 入

把空间图形画在平面内,画得既富有立体感,又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形

1.如何用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图？

提

2.上述画直观图的方法称为斜二测画法，请总结其步骤. 出

3.探求空间几何体的直观图的画法.用斜二测画法画长、宽、高分问

别是4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图.

题

活

动

讨

论

结

果

4.用斜二测画法画水平放置的平面图形和几何体的直观图有什么不同？并总结画几何体的直观图的步骤.

1.1和3教师首先示范画法，并让学生思考斜二测画法的关键步骤,让学生发表自己的见解，教师及时给予点评. 2.根据上述画法来归纳. 3.让学生比较两种画法的步骤. 1.画法：

1°如图1（1），在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O.在图1(2)中，画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′=45°.

2°在图1(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′=AD，在y′1轴上取M′N′=MN.以点N′为中点画B′C′平行于x′轴，并且2等于BC；再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF. 3°连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′〔图1(3)〕.

图1 2.步骤是：

1°在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面. 2°已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段. 3°已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半. 3.画法：

1°画轴.如图2，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.

图2 2°画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN=4 cm;在y3轴上取线段PQ，使PQ=cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过2

点

评

应用示例

讲解例1 点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD. 3°画侧棱.过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′. 4°成图.顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图.

画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取，用斜二测画法画图的角度也可以自定，但是要求图形具有一定的立体感.

例1 如图3所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4 cm，CD=2 cm，∠DAB=30°，AD=3 cm，试画出它的直观图.

图3 活动：利用斜二测画法作该梯形的直观图，要注意在斜二测画法中，要有一些平行于原坐标轴的线段才好按部就班地作图，所以先在原坐标系中过Ｄ作出该点在x轴的垂足，则对应地可以作出线段ＤＥ的直观图，进而作出整个梯形的直观图.

解：步骤是：（1）如图4所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图5所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′A′y′=45°.

（2）如图4所示，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.在x′轴上取33cm ≈2.598 cm；过E′作A′B′=AB=4 cm，A′E′=AE=21E′D′∥y′轴，使E′D′=ED，再过点D′作D′C′∥x′轴，2且使D′C′=CD=2 cm.

图4 图5 图6 （3）连接A′D′、B′C′、C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图6所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图. 点评：本题考查利用斜二测画法画空间图形的直观图.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点；原图中的共点线，在直观图中仍

变式练习

讲解例2 是共点线；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线.本题中，关键在于点D′位置的确定，这里我们采用作垂线的方法，先找到垂足E′，再去确定D′的位置.

变式训练

1.画水平放置的等边三角形的直观图. 答案：略. 2.关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是（ ）

A.原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变

B.原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变1为原来的

2C.在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°

D.在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同

分析：在画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′也可以是135°，所以C不正确. 答案：C

例2 如图7，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.

图7

活动：让学生由三视图还原为实物图，并判断该几何体的结构特征.教师分析：

由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合.我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥.

解：画法：

（1）画轴.如图8（1），画x轴、y轴、z轴，使∠xOy=45°,∠xOz=90°.

变式

练图9 习

答案：该几何体是由一个圆锥和一个圆柱拼接而成的简单组合体，其直观图如图10所示，三视图如图11所示.

(1) (2) 图8 （2）画圆柱的两底面，仿照例2画法，画出底面⊙O.在z轴上截取O′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′,Oy的平行线O′y′,利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′（与画⊙O一样）. （3）画圆锥的顶点.在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度. （4）成图.连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图表示的几何体的直观图〔图8(2)〕. 点评：

空间几何体的三视图与直观图有着密切的联系，我们能够由空间几何体的三视图得到它的直观图.同时，也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图.

变式训练

1.如图9所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，该梯形绕边AD所在直线EF旋转一周得一几何体，画出该几何体的直观图和三视图. 图10 图11

六、课后小结

1.直观图的概念. 2.直观图的画法. 3.直观图和三视图的关系. 七、课后作业

作业：

习题1.2 A组 第5、6题. 八、课后反思