1.4.3 含有一个量词的命题的否定板书设计

含有一个量词的命题的否定

同心中学 白丽娟

一、教学目标

1.知识与技能目标：

（1）理解含有一个量词的命题的否定的意义. （2）会对含有一个量词的命题进行否定. （3）掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题. 2．过程与方法目标：使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．

3.情感态度价值观：

通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．

二、教学重点与难点

教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．

教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．

三、教学过程

(一)问题导学

1.知识点一：全称命题的否定

尝试写出下面含有一个量词的全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法.

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(1)所有矩形都是平行四边形；

将量词“所有”换为：“存在一个”然后将结论否定，即“不是平行四边形”，所以原命题的否定为：“存在一个矩形不是平行四边形”；用同样的方法可得(2)(3)的否定：

(2)每一个素数都是奇数；

解答：存在一个素数不是奇数；

(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0. 解答： _________________________________. 2.知识点二:特称命题的否定

尝试写出下面含有一个量词的特称命题的否定，并归纳写特称命题否定的方法. (1)有些实数的绝对值是正数；

先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”，然后将结论“实数的绝对值是正数”否定，即“实数的绝对值不是正数，于是得原命题的否定为：“所有实数的绝对值都不是正数”；同理可得(2)(3)的否定. (2)某些平行四边形是菱形；

解答:所有平行四边形都不是菱形；

(3)∃x0∈R， x2＋1<0. 解答:________________________________. 梳理：写特称命题的否定的方法：(1)将存在量词改写为全称量词，(2)将结论否定.

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对于含一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：

特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：∀x∈M，非p(x).特称命题的否定是全称命题. （二）题型探究

类型一：全称命题的否定

例1．写出下列全称命题的否定：

(1)任何一个平行四边形的对边都平行；

其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行. (2)数列：1，2，3，4，5中的每一项都是偶数；

其否定：数列：1，2，3，4，5中至少有一项不是偶数. (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解；

其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不惟一或不存在. (4)可以被5整除的整数，末位是0. 其否定：存在被5整除的整数，末位不是0. 全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定. 跟踪训练1:写出下列全称命题的否定：

(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；

非p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆. (2)p：所有自然数的平方都是正数；

非p：有些自然数的平方不是正数. (3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；

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非p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根. 类型二：特称命题的否定

例2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假. (1)p：有些素数是奇数；

非p：所有的素数都不是奇数(假). (2)p：有些平行四边形不是矩形. 非p：所有的平行四边形都是矩形(假). 梳理：特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p：∃x0∈M，p(x0)成立⇒綈p：∀x∈M，非p(x)成立. 跟踪训练2：写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假. (1)有些实数的绝对值是正数；

命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题. (2)某些平行四边形是菱形；

命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假

类型三：特称命题、全称命题的综合应用

例3 已知函数f(x)＝x2－2x＋5. (1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；

解：不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，

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即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4. 要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可. 故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4. (2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围. 解：不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min. 又f(x)＝(x－1)2＋4，

∴f(x)min＝4，∴m>4. ∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞). 对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素.一般地，对任意的实数x，a>f(x)恒成立，只要a>f(x)max；若存在一个实数x0，使a>f(x0)成立，只需a>f(x)min.

（三）当堂训练

1.已知a>0且a≠1，命题“∃x0>1，logax0>0”的否定是（ ）

A.∃x0≤1，logax0>0 B.∃x0>1，logax0≤0 C.∀x≤1，logax>0 D.∀x>1，logax≤0 2.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（ ）

A.非p：∀x∈A，2x∉B B.非p：∀x∉A，2x∉B

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C.非p：∃x0∉A，2x0∈B D.非p：∃x0∈A，2x0∉B 3.命题“对任意一个实数x，都有10”的否定是2x4_______________________________________. （四）规律与方法

1.对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定，如：将“≥”否定为“<”. 2.对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定.含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题.注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断. 原词语

是

都是

大于

小于

任意的

所有的

否定词语

不是

不都是

不大于

不小于

某个

某些

原词语

至少有一个

至多有一个

至少有n个

至多有n个

能

等于

否定词语

一个也没有

至少有两个

至多有(n－1)个

至少有(n＋1)个

不能

不等于

3.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，因此在书写时，要注意量词以及形式的变化，熟练掌握下列常见词语的否定形式.

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