1.1.1 命题ppt课件教学实录

第一章

常用逻辑用语

§1.1 命题及其关系

1.1.1

命

题

自主学习

了解命题的概念，会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若p，则q”的形式．

1．命题

我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．“若p，则q”是命题的一种表示形式，其中命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．

3．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．

对点讲练

命题及命题真假的判断

【例1】

判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？

(1)2是无理数；

(2)若a<0，则a2<0；

(3)常数列是等比数列吗？

(4)2既是偶数，又是素数；

(5)求证2是无理数；

(6)x>15. 解

(1)(2)(4)是能够判断真假的陈述句，所以是命题，因为命题(2)－1<0，但(－1)2>0，所以是假命题，(3)是疑问句，所以不是命题，(5)是祈使句，所以不是命题，(6)中由于x是未知数，x可能大于15，也可能小于15，不能判断真假，所以不是命题．综上，(1)(2)(4)是命题，其中(1)(4)是真命题，(2)是假命题，(3)(5)(6)不是命题．

反思感悟

判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．在说明一个命题是假命题时，能举出反例即可．

变式迁移1

判断下列语句是否是命题，若是，请判断命题的真假．

(1)奇数的平方仍是奇数；

(2)你是高二的学生吗？

(3)6＋9x>4；

(4)若x∈R，则x2＋2x＋3>0；

(5)若x＋y和xy都是有理数，则x，y均为有理数．

解

(1)(4)(5)是命题，(2)(3)不是命题，(1)(4)是真命题，因为(1)中奇数的平方相当于奇数个奇数相加，所以和也是奇数，(4)中的二次三项式的判别式小于0，所以不等式恒成立，(5)是假命题．

判断命题的条件和结论

【例2】

指出下列命题的条件p和结论q. (1)若a>b，则a2>b2；

(2)若函数y＝f(x)是偶函数，则它的图象关于y轴对称．

解

(1)条件p：a>b，结论q：a2>b2. (2)条件p：函数y＝f(x)是偶函数，结论q：它的图象关于y轴对称．

反思感悟

一般而言，“若”“如果”“只要”后面是条件，“则”“那”“就有”后面是结论．

变式迁移2

指出下列命题中的条件和结论．

(1)如果a、b、c成等差数列，则2b＝a＋c；(2)若两个三角形相似，则它们的对应角相等．

解

(1)中的条件是“a、b、c成等差数列”，结论是“2b＝a＋c”．

(2)中的条件是“两个三角形相似”，结论是“它们的对应角相等”．

将命题改写成“若p则q”的形式

【例3】

将下列命题改写成“若p，则q”的形式．

(1)两条直线相交有且只有一个交点；(2)对顶角相等；(3)全等的两个三角形面积也相等．

解

(1)若两条直线相交，则两直线有且只有一个交点．

(2)若两角是对顶角，则它们相等．

(3)若两个三角形全等，则两三角形的面积相等．

反思感悟

在改写命题的形式时，首先要找准哪一个是命题的条件，哪一个是命题的结论；然后将条件写在前面，结论写在后面，命题形式改变后真假性不变．

变式迁移3

把下列命题写成“若p则q”的形式，并判断其真假．

(1)实数的平方是非负数；

(2)能被6整除的数既能被3整除，也能被2整除；

(3)平行于同一个平面的两直线平行；

(4)已知x，y是正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2. 解

(1)若一个数是实数，则这个数的平方是非负数，是真命题．

(2)若一个数能被6整除，则它既能被3整除，又能被2整除，是真命题．

(3)若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题．

(4)已知x，y是正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，是假命题．

1．由命题的定义可知，要判断一个语句是否为命题要抓住两点，一是此语句是不是陈述句，二是此语句能否判断真假，只有能判断真假的陈述句才是命题．

2．命题有真假之分，真命题是我们学过的公理、定理、公式、法则或可以经过推理证明正确的命题；假命题的判断只需要举一反例即可．

3．一般地，命题都是由条件和结论两部分组成的，对“若p则q”的命题，p是条件，q 是结论．在判断命题的条件和结论时，如果一个命题的条件和结论不明显，可以先改写成“若p则q”的形式，然后再进行判断．

4．在将一个命题改写成“若p则q”的形式时，为叙述的通顺，必要时可添加一些词语，有些命题改法不一定唯一，如命题“内接于圆的四边形对角互补”就有不同的改写方式，可以改为“若四边形内接于圆，则它的对角互补”，也可以改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”．含有前提条件的命题，在改写时，前提条件不变，从前提条件后面找命题的条件和结论进行改写．

课时作业

一、选择题

1．下列语句中命题的个数为(

) (1)空集是任何非空集合的真子集．(2)三角函数是周期函数吗？

(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0.(4)指数函数的图象真漂亮！

A．1

B．2

C．3

D．0 答案

B 解析

(1)是命题，是真命题．(2)是疑问句，故不是命题．(3)是命题，因为Δ＝16－28<0，所以是真命题．(4)是感叹句，所以不是命题．

2．下列语句：①3>2；②π是有理数吗？③sin 30°＝0.5；④x2－1＝0有一个根是x＝1；⑤x>2.其中是命题的是(

) A．①②③

B．①③④

C．③

D．②⑤

答案

B 3．下列命题中，是真命题的是(

) A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集

B．{x∈N||x－1|<3}是无限集

C．空集是任何集合的真子集

D．x2－5x＝0的根是自然数

答案

D 解析

A中方程在实数范围内无解，故是假命题；B中因x是自然数，所以对应的集合是有限集，故B是假命题；因空集是任何非空集合的真子集，故C是假命题；所以选

D. 4．下列说法正确的是(

) A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”

B．语句“陈述句都是命题”不是命题

C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题

D．对任意的a∈(－4,0]，ax2＋ax－1<0恒成立

答案

D 5．下列4个命题：

11p1：存在x∈(0，＋∞)，使<；p2：存在x∈(0,1)，使log1x>log1x；2323

1110，，恒有log1x；p4：任意x∈32223其中的真命题是(

) A．p1，p3

B．p1，p4

C．p2，p3

D．p2，p4

答案

D xxxx11解析

当x∈(0，＋∞)恒有>，故p1为假；

23111当x＝时，log1>log1，故p2为真；

22223xx111当x＝时，

222122110，时，log1x>1,0<<1，故p4为真．

由图象可知，当x∈323x二、填空题

6．把“6是12和24的公约数”改写成“若p，则q”的形式为____________________________．

答案

若一个数是6，则这个数是12和24的公约数

7．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：

若函数f(x)＝3＋log2x的图象与g(x)的图象关于________对称，则函数g(x)＝______.(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形) 答案

答案不唯一，以下供参考，

①x轴

－3－log2x

②y轴

3＋log2(－x)

③原点

－3－log2(－x) 8．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________．

答案

①④

解析

①④是真命题，②四条边相等的四边形也可以是菱形，③平行四边形不是梯形．

三、解答题

9．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．

(1)偶数能被2整除；

(2)奇函数的图象关于原点对称．

解

(1)若一个数是偶数，则它能被2整除．真命题．

(2)若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称．真命题．

10．已知命题p：对m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥m2＋8恒成立；命题q：不等式x2＋ax＋2<0有解，若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围．

解

∵m∈[－1,1]，∴m2＋8∈[22，3]．

∵对m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥m2＋8恒成立，可得a2－5a－3≥3，

∴a≥6或a≤－1. 故命题p为真命题时，a≥6或a≤－1. 又命题q：不等式x2＋ax＋2<0有解，

∴Δ＝a2－8>0.∴a>22或a<－22. 从而命题q为假命题时，－22≤a≤22，

∴命题p为真命题，q为假命题时，

a的取值范围为－22≤a≤－1.