小结教案3

利用空间向量求距离（坐标法）

青川第一高级中学

陈涛

一、教学目标

1、复习空间向量数量积、膜长、及其几何意义；

2、培养学生数学抽象、直观想象能力；

3、掌握利用空间向量计算距离的方法；

4、培养学生动手能力，理解用计算的方法解决几何问题。

二、教学重难点

1、重点

建立空间直角坐标系，正确写出点的坐标，求出连接向量，法向量，公垂向量，计算距离（投影）。

2、难点

利用空间向量计算距离公式的推导理解

三、教学设计

问题1 在立体几何中，我们经常遇到求空间角的问题，通常我们是怎样解决的？

答：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解。

问题2 在空间中遇到求距离的问题，能不能用空间向量解决？又该怎样求解呢？

回顾：向量中关于长度的计算有哪些？

aaaaa222xy22ax2y2z2

a.ba.b.cosa,b

空间中具体包括点与点、点与直线、两平行线、点与平面、两异面直线、直线与其平行平面、两平行平面之间的距离，而前三种总可以放在平面上求解，下面我们重点介绍后面四种距离的求法。

问题3 怎么求平面外一点P到平面之间的距离？（点与面）



过点P作平面α的垂线，垂足为O，取平面上任意一点A，连接PA、PO，则为点P到平面α的距离。

PO向量

n叫做平面α的法向量（垂直于平面α的向PA叫做连接向量，向量量）

那么由于

PAnPAncosPA,n，所以cosAPOcosPA,nPAnPAn

POPAcosAPOPAcosPA,nPAPAnPAnPAnn

实际上，由数量积的几何意义知

PAcosPA,n即为向量PA在向量n方向上的投影。也就是说，空间中一点P到平面α的距离等于点P到平面内任意一点A的连接向量PA在平面α的法向量n方向上的投影的绝对值。

问题4 空间中两条异面直线之间的距离是否跟上面的求法一样？（线与线）

定义：公垂线段的长度。

已知：异面直线l1、l2，BO为l1，l2的公垂线，点P、A分别是直线l1,l2上的任意一点,平移线段BO到PO1,使BOPO1. 则异面直线l1,l2之间的距离即为连接向量PA在公垂向量n方向上投影的绝对值，PAnn即：BOPO1

例题讲解

例1 如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是AB、BC的中点，求点B到平面A1EFC1的距离。

解：

以D1为原点，D1A1方向为x轴正方

向，D1C1为y轴正方向，D1D为z轴正方

向，1为单位长度建立空间直角坐标系. 则

A1(2，0，0) C1(0，2，0) E(2，1，2) F(1，2，2) B(2，2，2) A1E0,1,2EF(1,1,0)BE(0,1,0)

设平面A1EFC1的法向量nx,y,z，

xynA1E0y2z0

即

1

zyxy0nEF02令y=2，得平面A1EFC1的一个法向量n(2,2,1)



点B到平面A1EFC1的距离dBEnn02120(1)2222(1)22

3练习1 如图，正四棱锥PABCD中，AB=2，其高PO=2，求异面直线AC与PD的距离。

作业与小结：